Из точки находящейся на расстоянии 16 см от плоскости, проведены к этой плоскости две равные наклонные. найдите сумму проекций этих наклонных. если они образуют с плоскостью угол 45 градусов.

АО - перпендикуляр к плоскости α.

Тогда АО = 16 см - расстояние от точки А до α,

АВ и АС равные  наклонные,

ОВ и ОС - их проекции.

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее проекцией на плоскость:

∠АВО = ∠АСО = 45°

ΔАВО прямоугольный с острым углом 45°, значит он равнобедренный:

ОВ = АО = 16 см

Если из одной точки к плоскости проведены равные наклонные, то равны и их проекции:

ОС = ОВ = 16 см

ОС + ОВ = 32 см

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.                                                                                                      

В 1380 году ханом стал Тохтамыш. Он укрепил центральную власть, но в 90-х годах был разбит Тамерланом и от этого удара Орда уже не оправилась. В начале XV века начался распад государства: в 1420 или 1421 году образовалось Сибирское ханство, в 1428 - Узбекское ханство, в 1438 - Казанское, в 1440 - Ногайская Орда, в 1441 - Крымское ханство. После смерти Кичи-Мухаммеда (1459) Золотая орда перестает существовать как единое государство. То, что осталось от Золотой Орды называлось Большой Ордой и именно она считается преемницей Золотой Орды.