Две стороны треугольника равны 14 и 22. медиана, проведенная к третьей стороне равна 12 см. найдите третью сторонубез формулы медианы, косинусов)

Пусть имеем искомый треугольник ABC, в котором AB=14, BC=22. Из вершины B проведем медиану BM, BM=12. Необходимо найти величину стороны AC.

Обозначим АС=2x, тогда AM=CM=x, т.к. M - середина AC ( BM - медиана). По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольники, у которых равны площади). Поскольку BM - медиана в треугольнике ABC, то S(ABM)=S(CBM) по вышеописанному свойству.

1). По формуле площади треугольника Герона имеем:

S(ABM)=√p*(p-AB)*(p-BM)*(p-AM), где p - полупериметр треугольника ABM;

p=(AB+BM+AM)/2=(14+12+x)/2=7+6+0,5*x=13+0,5*x;

Тогда, S(ABM)=√(13+0,5*x)*(13+0,5*x-14)*(13+0,5*x-12)*(13+0,5*x-x)=√(13+0,5*x)*(0,5*x-1)*(0,5*x+1)*(13-0,5*x);

Используя формулу разности квадратов, можем привести к следующему виду:

S(ABM)=√(169-0,25*x²)*(0,25*x²-1);

2). Аналогично, S(CBM)=√p*(p-MB)*(p-MC)*(p-BC), где p - полупериметр треугольника CBM;

p=(MB+MC+BC)/2=(12+x+22)/2=6+11+0,5*x=17+0,5*x;

Тогда, S(CBM)=√(17+0,5*x)*(17+0,5*x-12)*(17+0,5*x-x)*(17+0,5*x-22)=√(17+0,5*x)*(0,5*x+5)*(17-0,5*x)*(0,5*x-5);

Используя формулу разности квадратов, можем привести к следующему виду:

S(CBM)=√(289-0,25*x²)*(0,25*x²-25);

3). Т.к. по вышедоказанному S(ABM)=S(CBM), то подставив полученные вычисления, получаем:

√(169-0,25*x²)*(0,25*x²-1)=√(289-0,25*x²)*(0,25*x²-25);

Возведем обе части в квадрат:

(169-0,25*x²)*(0,25*x²-1)=(289-0,25*x²)*(0,25*x²-25);

42,25*x²-0,0625*x²-169+0,25*x²=72,25*x²-0,0625*x²-7225+6,25x²;

42,5*x²-169=78,5x²-7225;

36*x²=7056;

x²=196;

x=±14, но так как x - это величина стороны, то (-14) - посторонний корень;

4). АС=2x=2*14=28, что и требовалось найти;

ответ: AC=28.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (c^2 = a^2 + b^2).
Теорема об угле в 30 градусов: катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. (три вышеуказанные теоремы относятся к прямоугольным треугольникам).
Площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник - равнобедренный (и наоборот).
Если в треугольнике все углы равны, то этот треугольник - равносторонний.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
В равностороннем треугольнике высоты являются серединными перпендикулярами к сторонам.

Модуль "Геометрия" состоит из 5 заданий.
1 задание: Найти угол в треугольнике. Для этого необходимо знать все правила, касающиеся углов, отношения сторон, про угол в 30 градусов.
2 задание: Найти периметр четырех угольника, если дана вписаная окружность. Для этого надо уметь отличать вписанную окружность от описанной, знать свойства той и другой. Как найти периметр различных фигур.
3 задание: Найти площадь. Для этого надо знать формулы площадей различных фигур, так как попадаются и трапеции самые разные, и параллелограммы, и т.д.
4 задание: На клетчатой бумаге изображен угол, найти его тангенс. Для этого надо знать что тангенс - это отношение синуса к косинуса, то есть отношения противолежащего к прилежащему, и т.д. Тоже самое знать про синус и косинус.
5 задание: Какие из следующих утверждения верны. Здесь проверяют со ваши общие знания, то есть формулировки совершенно любых теорем, которые вы проходили.