Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на его сторону, делит ее на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. найдите площадь ромба, если длина этого перпендикуляра 6 см

S=ah   a=13  h=6*2=12 S=156

Нехай даний трикутник ABC. За умовою трикутник АВС – рівнобедрений з основою АВ, тоді бічні сторони рівні АС = ВС, кути при основі рівні ﮮСАВ = ﮮСВА. За означенням бісектриси АN маємо ﮮСАВ = 2ﮮСАN. За означенням бісектриси ВМ маємо ﮮСВА = 2ﮮСВМ. Розглянемо трикутники AСN і BCM. За стороною АС = ВС та прилеглими кутами ﮮСАN = ﮮСВМ, кут АСВ спільний трикутники рівні ∆САN = ∆СВМ. У рівних трикутників рівні відповідні сторони АN = BM. А вони є шуканими бісектрисами рівнобедреного трикутника, проведені з вершин кутів при основі.

1)  ΔАВС , ∠С=90° , СН⊥АВ , ∠ АСН=60°,  ВС=3,6 см . Найти: АВ=?

Рассм. ΔАСН.  ∠А=90°-∠АСН=90°-60°=30° .

Рассм. ΔАВС. Катет ВС=3,6 см лежит против угла в 30°, значит он равен половине гипотенузы, то есть ВС=1/2*АВ  ⇒  АВ=2*ВС ,

АВ=2*3,6=7,2 (см) .

ответ: АВ=7,2 см .

2)  ΔАВС , ∠С=90° , ∠С:∠А=4:2  , СН⊥АВ ,  ВН=3 см . Найти АН .

∠А+∠С=90°  ,  ∠С=4k  , ∠A=2k  ,  4k+2k=90°  ,  6k=90°  ,  k=15° .

∠C=4*15°=60°  ,  ∠A=2*15°=30° .

Рассм. ΔВСН.  ∠ВНС=90° , ∠ВСН=90°-∠В=90°-60°=30° .

Катет ВН=3 см лежит против угла в 30°, тогда гипотенуза в 2 раза больше этого катета:  ВС=2*3=6 см.

Из теоремы Пифагора: СН=√(ВС²-ВН²)=√(36-9)=√27=3√3 (см)

Рассм. ΔАСН. ∠АНС=90° , ∠А=30°  ⇒  катет СН лежит против угла

в 30°  ⇒  АС=2*СН=2*3√3=6√3 (см) .

АН=√(АС²-СН²)=√(36*3-9*3)=√81=9 (см)

ответ:  АН=9 см .