Докажите что биссектрисы двух накрест лежащих углов при параллельных прямых a и b и секущей c параллельны

Дано:

a || b

c -секущая

Доказать:

биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Доказательство.

АЕ - биссектриса угла А,

BD - биссектриса угла В.

АЕ пересекается с BD в точке О.

Известно, что сумма односторонних углов равна 180 градусов, тогда:

Угол А + Угол В = 180

Рассмотрим треугольники АОВ и АОD:

АЕ - биссектриса угла А,

BD - биссектриса угла В.

Угол А и Угол В односторонние =>

Угол ВАО + Угол АВО = 1/2 * (Угол А + Угол В )

Угол ВАО + Угол АВО = 90

Значит Угол АОВ = 180 - (Угол ВАО + Угол АВО) = 180 - 90 = 90

Аналогично и со вторым треугольником.

BD - секущая, a || b => Угол ОВЕ = Углу BDA - накрест лежащие !

Так как углы эти равны, то из равенства Угол ВАО + Угол АВО = 90 следует, что сумма угла А/2 + угол D = 90

Значит угол АОD = 90 =>

трегоьники равны по 3ему признаку равенства треугольников (по трем углам) => АЕ и BD перпендикулярны

углы BОD и СОЕ равны

Объяснение:

Мы можем видеть, что у углов АОЕ и ВОF имеется общая часть, угол ВОЕ.

Так как из условия "Углы АОЕ и ВОF на рисунке 45 равны", и мы вычтем из углов их общую чать, то получим, что угол ЕОF равен углу ВОА.

А так как ОВ и OE — биссектрисы углов АОС  и DOF, то можем сделать вывод, что угол DOЕ равен углу СОВ.

Углы BОD и СОЕ можно представить как сумму общей для углов части, угол DOС с соответствующими  углами СОВ и DOЕ. И так как угол DOЕ равен углу СОВ, следует, что углы BОD и СОЕ равны.

Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает DC в единственной точке F, а BC-в точке E. 

Найти площадь AFCB, если AB=32, AD=40 и BE=1

————

АBCD- прямоугольник. ⇒

AFCB - прямоугольная трапеция.  Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований  на высоту. 

S=0,5•(FC+AB)•BC

СF следует найти. 

Проведем радиусы ОК и ОТ к АВ и АД соответственно. 

АК=ОК=ОТ=ТА=R

Опустим из Е перпендикуляр ЕН на радиус ОК

КН=ВЕ=1⇒ НО=R-1

ЕН=ВК=АВ-R=32-R

По т.Пифагора из ∆ ОЕН

R²=(32-R)²+(R-1)²⇒

R²-66 R+1024=0  Решив квадратное уравнение, получим два корня:

R1=41;  R2=25

Первый не подходит, т.к. больше, чем АВ,  и будет касаться не АВ, а её продолжения. 

R=ОЕ=25

Проведем ОМ перпендикулярно СD. 

Основание СF=CM+MF

CM=BK=AB-R=7

MF=√(OF²-OM²)

OM=AD-R=40-25=15

MF=√(25²-15²)=20

CF=20+7=27

S=0,5•(27+32)•40=1180 ( ед. площади)