Ввыпуклом многоугольнике abcde ∠a=60°, а остальные углы равны между собой. известно, что ab=6, cd=4, ea=7. найдите расстояние от точки a до прямой cd.

В пятиугольнике сумма углов равна (5-2)*180=540°

Значит остальные углы, кроме А равны (540-60)/4=120°

Продолжим линии AB и СD до точки пересечения F. И продолжим линии EA и CD до точки пересечения G.

Угол FBС=180-120=60°

Угол FCB=180-120=60°

Угол F=180-(60+60)=60°

Угол G=180-(60+60)=60°

Следовательно треугольник AFG - равносторонний. А так же треугольники FBC и GED тоже равносторонние.

Обозначим неизвестные части сторон x и у.

6+x=7+y=4+x+y

6+x=4+x+y

y=2

7+y=7+2=9см - сторона треугольника АFG.

Расстояние от А до CD - высота треугольника АFG, которая равна (9/2)*√3=4,5√3см

ответ: 4,5√3см.

Смотрите вложенный файл. Там чертеж. 
Допустим,около окружности описан квадрат(правильный четырехугольник),а в окружность вписан квадрат так,что вершины квадрата совпадают с точками касания окружности и описанного квадрата. (на чертеже все видно!)
Сторона описанного квадрата равна 2а. В точке касания она делится пополам,и эти "половинки" равны а.
Образуется прямоугольный треугольник. Из него получаем:
а²+а²=2а²
Тогда сторона вписанного квадрата равна а√2
Периметр вписанного квадрата равен p=4а√2
Периметр описанного квадрата равен P=8а
p/P=(4а√2)/(8а)=√2/2(это отношение периметров)
Площадь вписанного квадрата s=(a√2)²=2a²
Площадь описанного квадрата S=S₂=(2a)²=4a²
Отношение площадей:
s/S=(2a²)/(4a²)=1/2

ответ: √2/2;1/2

Начнем с самого простого:
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности (свойство). Но можно и так: диагонали правильного шестиугольника разбивают описанную окружность на 6 равных равносторонних треугольника (см. рисунок). Поэтому сторона этого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Rш=10см.
Диагональ правильного четырехугольника (квадрата) равна диаметру описанной около него окружности (свойство). D=20см.
Тогда его сторона равна Rк= 10√2см.
Сторона правильного треугольника равна  R*√3 (формула). Или в нашем случае 10√3.
Но можно и без формулы: по теореме косинусов.
a² = 2*R²-2R²*Cos120° или a²=200*(1+1/2) = 100*3. a=√300 = 10√3см.
ответ: сторона треугольника равна 10√3см, четырехугольника10√2см и шестиугольника 10см.