На медиане  am  треугольника  abc  взята точка  k, причём   ak  :   km  = 1 : 3.  найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку  k  параллельно стороне  ac, делит сторону  bc.

1:7

Объяснение:

Отметим точку L - точку пересечения BC и прямой, проходящей через K параллельно AC.

∠LKM=∠CAM как соответственные углы при параллельных AC и KL и секущей AK.

Поэтому треугольники AMC и KML подобны (в них также есть общий угол AMC).

Отсюда CL:CM=AK:AM=AK:(AK+KM)=1:4.

LB = 2 * CM - CL, поэтому

CL:LB=1:(4 * 2 - 1)=1:7

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен m,а противолежащий  угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы наклонена к плоскости ее основания под углом 60 °. Найдите объем цилиндра и его площадь и площадь боковой поверхности
Пусть центр нижнего основания цилиндра будет О, а основание вписанной призмы -
⊿ АВС, где ∠С=90° а ∠В=30°
Так как катет АС, равный m, противолежит углу 30°, гипотенуза 
АВ =АС:sin(30°)=2m
Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы. Следовательно, ВО=ОА=R=m.
Объем цилиндра 
V=S*H
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Треугольник АВВ1 - прямоугольный с острым углом ВАВ1=60°
H=ВВ1=AB*tg (60°)=2m*√3
V=π*m²*2m*√3=2π m³√3 
Площадь боковой поверхности
 S=L*H=2πr*H=2πm*2m*√3=4πm²*√3

Объяснение:

Объём пирамиды:

, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Значит  

У правильной четырёхугольной пирамиды основанием выступает квадрат. Если сторону квадрата обозначить как а, то S=a² ⇒ а=√S.

Боковое ребро пирамиды l, её высота h и полудиагональ основания образуют прямоугольный треугольник, в котором искомое ребро  - гипотенуза, а высота и полудиагональ - катеты.

Диагональ квадрата равна √(2а²)=а*√2,

тогда половина диагонали равна а/√2, а так как  а=√S,

то половина диагонали равна

Тогда, по теореме Пифагора: