Виріште будь ласка два номера (20 ів)​

Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

AO=OC 

BO=OD 

∠AOD=∠COB (вертикальные)

Значит, треугольники AOD и COB равны (по двум сторонам и углу между ними). 

∠ADO=∠CBO (если треугольники равны, то и соответствующие углы тоже равны). Эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей BD.

AD∥BC (по признаку параллельных прямых)

AOB=COD, ∠ABO=∠CDO и AB∥CD (аналогично треугольникам AOD и COB.

Доказали, что AD∥BC и AB∥CD

Значит, ABCD — параллелограмм (по определению)

1.Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. 
 AOD = COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно,  OBC =  ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана. 

2.Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. 
Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC. 
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (ADB = CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая). 
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана. 

3.Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.  
Пусть дан четырехугольник ABCD.  DAB = BCD и ABC = CDA. 

Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º, 
 DAB +  BCD +  ABC +  CDA.= 360 . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то DAB + ABC = 180 º и  BCD +  CDA = 180 º. 
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.