Точка x ділить ребро ab куба abcda1b1c1d1 у відношенні ах: хв=2: 3. побудуйте переріз цього куба площиною, яка паралельна аа1с1 і проходить через точку х. знайдіть периметр перерізу, якщо ав=а.

Примем длину рёбер заданного тетраэдра за 1.
Определим координаты всех заданных точек.
Для этого поместим пирамиду точкой А в начало координат, точку В - на оси ОУ.
Координаты точки А    Координаты точки B     Координаты точки C
 ax    ay      az                    bx    by       bz             cx      cy       cz
  0     0        0                     0        1       0          0.866    0.5       0

Координаты точки Д             Координаты точки Е
 дx        дy       дz                       Еx     Еy     Еz
0.2887  0.5  0.8165                      0       0.5     0

Координаты точки Р             Координаты точки М
Рx             Рy          Рz              Мx      Мy      Мz
0.3849  0.66667  0.2722          0.433   0.25       0.

Находим координаты векторов МР и ДЕ.
                                                              x               y               z             
Вектор МР={xР-xМ, yР-yМ, zР-zМ} -0,048113  0,4166667  0,27216553 Вектор ДЕ={xЕ-xД, yЕ-yД, zЕ-zД}   -0,288675          0       -0,81649658.

Косинус угла между векторами определяем по формуле:
.

Подставив координаты векторов в формулу, получаем:
cosα = 0,20833333 / 0,433012702  = 0,48112522.

Данному косинусу соответствует угол:
α = 1,0688585 радиан или  61,241082°.  

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) угол А равен 100°, отрезок ВD- биссектриса треугольника. Докажите, что ВD+AD=BC  ———————

Сделаем рисунок.

∠АВС=∠АСВ=(180°-100°):2=40°

 Проведем биссектрису СМ и отрезок МD. 

В  ∆ АМС и ∆ АDВ стороны  АВ=АС по условию. 

Угол при А - общий, углы АВD=АСМ =40:2=20°  как половины равных углов.

∆ АМС = ∆ АDВ по равной стороне и прилежащим к ней равным углам.  

Следовательно, АМ=АD, и  ∆ АМD - равнобедренный.  

Углы треугольников АВС и АМD  при их  основаниях равны, они  соответственные при пересечении двух прямых секущими, и поэтому   МD||ВС (свойство), ⇒

 ∠ DМС=∠МСВ как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей. 

А т.к. СМ - биссектриса, то ∠ DСМ=∠ МСD

 ∆ МDС - равнобедренный, МD=DС. 

 Отложим на ВС отрезок ВК=ВD  Соединим D и К.  

∆ КВD - равнобедренный по построению. 

Угол КВD=20°. следовательно,  углы при КD=по 80°

Тогда угол СКD=100° как смежный углу DKB . 

∠ КДС=180°-100°-40°=40° ⇒ ∆ СКD - равнобедренный.  и равен треугольнику МАD по стороне и прилежащим к ней углам. КС=АD

ВС=ВК+КС, КС=АD,  ⇒  ВD+АD=ВС, что и требовалось доказать.