Для начала, давайте разберемся с данными условиями задачи. У нас есть треугольник MNP и отрезок NE, который является медианой и высотой этого треугольника.
а) Доказательство: MN = NP
Для начала, давайте определим понятие медианы треугольника. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Так как NE является медианой треугольника MNP, то она делит сторону MP пополам. Обозначим середину стороны MP как K. Тогда получим следующее:
NK = KP (1) - это следует из определения медианы
Также, у нас есть дано, что NE является высотой треугольника MNP. Высота - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне перпендикулярно этой стороне.
По определению высоты, NE и MP перпендикулярны друг другу. Это означает, что угол NEM является прямым углом.
Теперь давайте рассмотрим треугольник MNE. У нас есть две перпендикулярные стороны (NE и MP) и один угол (NEM), являющийся прямым углом. Такой треугольник называется прямоугольным треугольником.
В прямоугольном треугольнике, гипотенуза всегда является самой большой стороной, а катеты равны друг другу.
Так как NE является гипотенузой прямоугольного треугольника MNE, а MP - катетом, то NE должна быть больше MP (по определению гипотенузы).
Но мы знаем из равенства (1), что NK = KP, а значит MK = KM.
Таким образом, если MP = MK, а MK = KM, то MP = KM.
Следовательно, требуемое утверждение доказано: MN = NP.
б) Доказательство: NE - биссектриса треугольника MNP.
Для начала, давайте разберемся с понятием биссектрисы треугольника. Биссектриса - это отрезок, который делит указанный угол на два равных угла.
У нас есть треугольник MNP и отрезок NE. Мы должны доказать, что NE является биссектрисой треугольника MNP.
Воспользуемся свойством биссектрисы. Оно заключается в том, что если биссектриса треугольника делит любую из оставшихся двух сторон на пропорциональные отрезки, то либо эти две стороны равны, либо пропорции равны.
Давайте рассмотрим треугольник MNE. У нас есть биссектриса NE, сторона MN и сторона NP.
Так как NE - медиана, она делит сторону MP пополам, а значит, мы имеем следующее:
MN/MK = NP/KP (2) - это следует из свойства медианы
Нам нужно доказать, что NE также делит сторону MN на пропорциональные отрезки. Для этого, давайте разделим уравнение (2) на NP:
(MN/MK) / (NP/KP) = 1
MN/MK x KP/NP = 1
MN x KP = MK x NP
Теперь вспомним, что мы уже доказали в пункте а) - MN = NP.
Тогда получаем:
MN x KP = MK x MN
KP = MK (3)
Итак, из уравнения (3) следует, что отрезок KP равен отрезку MK.
Это значит, что NE делит сторону MN на две пропорциональные части, а значит, NE - биссектриса треугольника MNP.
Таким образом, исходное утверждение доказано: NE - биссектриса треугольника MNP.
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Дано: треугольник mnp, ne - медиана и высота треугольника mnp. доказать: а) mn=np; б) ne- биссектриса треугольника mnp.ответьте,
а) Доказательство: MN = NP
Для начала, давайте определим понятие медианы треугольника. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Так как NE является медианой треугольника MNP, то она делит сторону MP пополам. Обозначим середину стороны MP как K. Тогда получим следующее:
NK = KP (1) - это следует из определения медианы
Также, у нас есть дано, что NE является высотой треугольника MNP. Высота - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне перпендикулярно этой стороне.
По определению высоты, NE и MP перпендикулярны друг другу. Это означает, что угол NEM является прямым углом.
Теперь давайте рассмотрим треугольник MNE. У нас есть две перпендикулярные стороны (NE и MP) и один угол (NEM), являющийся прямым углом. Такой треугольник называется прямоугольным треугольником.
В прямоугольном треугольнике, гипотенуза всегда является самой большой стороной, а катеты равны друг другу.
Так как NE является гипотенузой прямоугольного треугольника MNE, а MP - катетом, то NE должна быть больше MP (по определению гипотенузы).
Но мы знаем из равенства (1), что NK = KP, а значит MK = KM.
Таким образом, если MP = MK, а MK = KM, то MP = KM.
Следовательно, требуемое утверждение доказано: MN = NP.
б) Доказательство: NE - биссектриса треугольника MNP.
Для начала, давайте разберемся с понятием биссектрисы треугольника. Биссектриса - это отрезок, который делит указанный угол на два равных угла.
У нас есть треугольник MNP и отрезок NE. Мы должны доказать, что NE является биссектрисой треугольника MNP.
Воспользуемся свойством биссектрисы. Оно заключается в том, что если биссектриса треугольника делит любую из оставшихся двух сторон на пропорциональные отрезки, то либо эти две стороны равны, либо пропорции равны.
Давайте рассмотрим треугольник MNE. У нас есть биссектриса NE, сторона MN и сторона NP.
Так как NE - медиана, она делит сторону MP пополам, а значит, мы имеем следующее:
MN/MK = NP/KP (2) - это следует из свойства медианы
Нам нужно доказать, что NE также делит сторону MN на пропорциональные отрезки. Для этого, давайте разделим уравнение (2) на NP:
(MN/MK) / (NP/KP) = 1
MN/MK x KP/NP = 1
MN x KP = MK x NP
Теперь вспомним, что мы уже доказали в пункте а) - MN = NP.
Тогда получаем:
MN x KP = MK x MN
KP = MK (3)
Итак, из уравнения (3) следует, что отрезок KP равен отрезку MK.
Это значит, что NE делит сторону MN на две пропорциональные части, а значит, NE - биссектриса треугольника MNP.
Таким образом, исходное утверждение доказано: NE - биссектриса треугольника MNP.