Определите траекторию точки м, которая движется так, что ее расстояние от точки р (1; -5) остаётся вдвое больше расстояния от прямой у=4. параллельным переносом осей координат провести полученное уравнение к каноническому виду и построить обе системы координат и найденную траекторию.

Рассмотрим треуг. АВО:
АВ-наклонная, ВО - проекция, угол АОВ - 90 градусов, т.к. АО перпендикулярна плоскости альфа, значит она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. => АО^2=АВ^2 -ВО^2;
Рассмотрим треуг. АСО:
АС-наклонная, ОС-проекция, угол АОС-90 градусов(правило точно такое же, как и в треуг. АОВ). => АО^2=АС^2 - ОС^2;
Получается, АО - общая сторона в треугольниках АВО и АСО.
Отсюда: АВ^2 -ВО^2= АС^2 - ОС^2





Получается, АВ=13см, а АС=15см.
Найдем АО из треугольника АВО(можно и из треугольника АСО найти, это не принципиально):
АО^2=169-25=144
АО=12.

ответ: 12 см.

1)Область определения квадратичной функции - (-∞;+∞)

2)Точки пересечения с осью ох ищем  из условия у=0, решая квадратное уравнение -х²-х+2=0, или х²+х-2=0, дискриминант равен 1-4*1*(-2)=9, значит, 2 различных корня уравнение имеет. Это -2 и 1. Значит,  точки пересечения с осью ох такие (-2;0) м (1;0)

А точки пересечения с осью оу ищем из условия х=0, т.е. , если х=0, то у=-0²-0+2, и точка пересечения с осью ординат одна, а именно (о;2)

3) найдем производную функции , решив уравнение игрек штрих равен нулю, т.е. найдем производную этой функции. она равна -2х-1. Приравниваем ее к нулю. -2х-1=0, -2х=1, откуда, х= -1/2, при переходе через точку х= -1/2 производная мЕняет знак с плюса на минус,  значит, на промежутке(-∞;-1/2) функция ВОЗРАСТАЕт, а на промежутке (-1/2;+∞) ФУНКЦИЯ УБЫВАЕТ.

4) Точка х=-1/2 - точка экстремума, а именно точка максимума, значение функции в ней равно -(-1/2)²-(-1/2)+2=-1/4+1/2+2=1+(1/4), по данным исследования строим график.