Доказать, что сумма боковых сторон треугольника превышает основание менее чем на удвоенный отрезок, соединяющий вергину с какой угодно точкой основания

Отношение сторон треугольника АВD- 12:16:20=3:4:5. Это отношение сторон "египетского" треугольника, значит, ∆ АВD- прямоугольный. (Можно проверить по т.Пифагора) 

∆ ВСЕ - прямоугольный по построению, т.к. СЕ⊥BD. 

ВС||AD, ⇒ ∠СВD=∠BDA как накрестлежащие. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого, они подобны. 

∆ BEC ~ ∆ ABD. 

Тогда ∠ВСЕ=∠ВАD, и их тригонометрические функции равны. 

 sin ВСЕ=sin A=BD/AD=16/20=0,8

cos ВСЕ=cos A=AB/AD=12/20=0,6

tg BCE=tg A=BD/AB=16/12=4/3

∠АСR = ∠ACD + ∠RCD = ∠ABC + ∠BCR = ∠ARC ⇒ ΔACR - равнобедренный, AN⊥CR, CN = NR, АС = AR = 6

∠ВСК = ∠BCD + ∠KCD = ∠BAC + ACK = ∠BKC ⇒ ΔBCK - равнобедренный, BM⊥CK, CM = MK, BC = BK = 8

CM = MK , CN = NR ⇒ MN - средняя линия ΔKCR

В ΔАВС: АВ² = АС² + BC² = 6² + 8² = 100 ⇒ AB = 10

BR = AB - AR = 10 - 6 = 4 ,  KR = BK - BR = 8 - 4 = 4  ⇒  MN = KR/2 = 4/2 = 2

===========================================================

Пусть АС = a, BC = b, AB = c, тогда АС = AR = a, BC = BK = b

BR = AB - AR = c - a,  KR = BK - BR = b - (c - a) = a + b - c  ⇒ MN = (a + b - c)/2

Следует, что MN не просто отрезок, лежащий на средней линии ΔАВС, и что удивительно! но и равен радиусу вписанной окружности в ΔАВС

MN = r = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2

ответ: 2