Впрямоугольный треугольник с углом 60 градусов вписана окружность, радиус которой равен 2корень3 см. найдите площадь этого треугольника.

авс - прям. тр-ик. угол с = 90 гр., угол а = 60 гр

т.о - пересечение биссектрис углов а и с - центр вписанной окр-ти.

проведем ок перпенд. ас

ок = r = 2кор3 радиус вписанной окружности. угол оас = 30 гр, угол оса = 45 гр.

из пр. тр-ов сок и аок можно выразить катет ас:

ас = r + (r/tg30) = 2кор3 + 6

находим другой катет:

вс = ac*tg60 = 6 + (6кор3)

находим площадь:

s = (1/2)ac*bc = 6(3 + кор3)(1 + кор3) = 6(6+4кор3) = 12(3+2кор3)

удивительно, но и тут пифагорова тройка. этот треугольник подобен треугольнику (8, 15, 17), все стороны его в корень(2) больше, то есть (8*корень(2), 15*корень(2), 17*корень( вот так незаметно мы нашли гипотенузу, хотя, конечно, можно было тупо "сосчитать" по теореме пифагора. 

для начала найдем радиус вписанной окружности. r = (8 + 15 - 17)*корень(2)/2 = 3*корень(2);  

теперь заметим, что искомое расстояние - это диагональ квадрата, образованного катетами и радиусами вписанной окружности, проведенными в точки касания катетов. поэтому искомое расстояние равно r*корень(2) = 6;

копия отсюда 

начнем с того, что с применением тригонометрии эта решается элементарно. если м - точка пересечения диагоналей, то md = mc*tg(15);

sacd = ac*md/2 = (2+корень(3))*tg(15)/(2*2) = (2+корень(3))*(1 - cos(30))/(4*sin(30));

sacd = (1 +  корень(3)/2)*(1 -  корень(3)/2) = (1 - 3/4) = 1/4;  

я так понял, что вся соль - решить без применения тригонометрии.

прежде всего, заметим, что расстояние между ad и вс равно половине стороны ромба а (проводим высоту из точки d на вс и вспоминаем про угол 30 градусов, высота ромба a/2). отсюда расстояние от м до стороны ромба (любой) равно а/4; пусть мк перпендикулярно ad, ad = a; мк = a/4; mc = корень(2  +  корень(3))/2 = m;   md = x; из подобия мкd и mdc имеем

m/a = a/(4*x); 4*x*m = a^2; но a^2 = m^2 + x^2;

4*x*m = m^2 + x^2; (x/m)^2 - 4*(x/m) + 1 = 0;

оставляем корень, при котором x/m < 1;  

x = m*(2 -  корень(3));

s = m^2*(2 -  корень(3)) = (1/4)*(2 +  корень(3))*(2 -  корень(3)) = 1/4