Прямая ab не принадлежащая плоскости альфа пересекает её в точке а. точка b принадлежащая прямой не принадлежит плоскости альфа. точка c принадлежит отрезку ab и делит его в отношении ac: cb = 3: 2 . через точки с и в проведены параллельные прямые пересекающие плоскость альфа в точках c1 и b1. найти отрезок сс1 если bb1 = 20 cm

Сделаем рисунок трапеци АВСД, вписанной в окружность.
Опустим из тупого угла В высоту ВН. 
АН=(АД-ВС):2=5
В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН равен половине гипотенузы АВ.
Если катет равен половине гипотенузы, - противолежащий ему угол равен 30°
Угол АВН=30°, следовательно, угол ВАН = 60°
Из В проведем диаметр ВЕ окружности и соединим Е с Д.
Углы ВАД и ВЕД вписанные, опираются на одну и ту же дугу ВСД и потому равны. =>угол ВЕД=60°
ВЕ=ВД:sin(60°)
ВД=√(ВН²+НД²)
ВН=АВ*sin(30°)=5√3
НД=АД-АН=25
ВД =√{(5√3)²+25²}=√(75+625)=10√7
ВЕ=ВД:sin(60°)= (20√7):√3
R=ВЕ:2=(10√7):√3
S круга=πR²=π*700:3=π233 ¹/₃ ≈ 733 см² (если π не округлять до 3,14)
--------------
Или из подобия треугольников ВДЕ и АВН - оба эти треугоьника прямоугольные и имеют по равному острому углу: 
АВ:ВЕ=ВН:ВД
10:BE=5√3:10√7 ...из этой пропорции
5√3 ВЕ=10*10√7
ВЕ=100√7:5√3=(20√7):√3
R=ВЕ:2=10√7):√3
S круга=πR²=π*700:3=233 ¹/₃ ≈ 733 см

Доказательство:

Вспомним теорему Фалеса: Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Эта теореме подходит для доказательства того, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Пусть у трапеции ABCD,  AD и BC - основания , AC диагональ, N -середина диагонали. EM - средняя линия. Из свойств средней линии трапеции:

EM||BC||AD.

CM = MD и EM||BC, тогда по теореме Фалеса EM проходит через точку N.

AE = EB и EM||BC, тогда по теореме Фалеса  EM проходит через точку N.

Следовательно: AN = NC.