Висота рівнобедреного трикутника, проведена до його основи, дорівнює h, а кут між його рівними сторонами дорівнює a. знайдіть радіус кола, вписаного в даний трикутник.

Дана возрастающая геометрическая прогрессия: b₁,b₂,b3, b₄,b₅, ...Cоставим систему уравнений по условию задачи для нахождения b₁ и q.
b₅ - b₁ = 15 и b₄ -b₂ = 6 (Эти уравнения надо объединить значком системы, но я не могу найти как это напечатать). Преобразуем эту систему:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15    и   b₁ * q³ - b₁ * q =6   далее умножим второе уравнение на q:
b₁ *q⁴ - b₁ = 15    и   b₁ * q⁴ - b₁ * q =6 q далее вычтем из первого второе и выразим из него b₁: b₁ *q² - b₁ = 15 - 6q;  b₁(q² - 1) = 15 - 6q
b₁ = (15 - 6q)/(q² -1) Теперь найдем q из уравнения  b₁ * q³ - b₁ * q =6
 b₁ * q(q² - 1)=6 сделаем подстановку:   (15 - 6q)/(q² -1) *q(q² - 1)=6 получим
(15 - 6q) * q =6 раскрыть скобки и привести к стандартному виду 
6q² - 15q + 6 =0 решаем квадратное уравнение относительно q и находим два корня q₁ = 2 и q₂ = 1/2 - этот корень посторонний, т.к. при таком знаменателе прогрессия является убывающей, что противоречит условию. Найдем теперь b₁ из   b₁ *q⁴ - b₁ = 15  b₁ = 15/(q⁴ - 1) = 15/(16-1) =1
Зная, что сумма геом. прогрессии равна 127, найдем количество членов этой прогрессии. Sn = b₁ * (1-q^n)/(1-q)
127 =1 * (q^n -1)/(2-1);  127 =q^n -1; q^n=128=2⁷ Значит n=7
ответ:  7

Вот некое утверждение, если кто-то докажет, что оно ошибочно, я ему лично пожму руку :)))
Пусть высота CH пересекает описанную окружность в точке K, биссектриса CL в точке Q, медиана CM в точке P. Дуги AK = KQ = QP = PB;
Точки P и K симметричны относительно QM.
Легко доказать (я тут этого делать не буду!), что прямая PM проходит через ортоцентр ABC. (то есть точку пересечения высот).
А теперь - внимание! :
Для того, чтобы эта прямая через вершину C, нужно, чтобы вершина C была бы ортоцентром треугольника ABC. :))) То есть этот треугольник - прямоугольный.
(странное доказательство, и я жду возражений :) Получается, что, если медиана и высота образуют с биссектрисой равные углы, то треугольник обязательно прямоугольный. Это - очень сильное утверждение, мне не верится, что это на самом деле так).
Чтобы, если это доказательство будет опровергнуто, решение не удалили, я приведу и другое, очень тупое доказательство.
Если обозначить угол между высотой и биссектрисой x, то легко найти
AH = HL = h*tg(x); BH = h*tg(3x); MH = h*tg(2x); h = CH;
из того, что CM - медиана, следует
tg(3x) - tg(2x) = tg(x) + tg(2x);
sin(x)/(cos(3x)*cos(2x)) = sin(3x)/(cos(x)*cos(2x));
sin(2x) = sin(6x);
cos(4x)*cos(2x) = 0;
единственное приемлемое решение 4x = π/2; то есть ∠ACB = π/2; треугольник прямоугольный.
Его меньший острый угол равен x = π/8;
Дальше все в этой задаче просто,
CM = R; СL = AC = 2R*sin(π/8); CH = AC*cos(π/8) = R*sin(π/4) = R√2/2;
вычислить значение z = sin(π/8) можно так
1 - 2*(sin(π/8))^2 = √2/2; 
sin(π/8) = √(2-√2)/2;