З аксіоми про паралельність прямої та площини: якщо одна з двох прямих паралельна даній площині, то інша пряма або паралельна даній площині, або лежить у ній. Основи трапеції паралельні, основа AD паралельна площині β. Тоді й основа BC паралельна площині β. Але одна з точок прямої BC лежить у площині β, тому і основа BC лежить в даній площині.
shangina1997507
29.04.2021
Строго говоря, теорема Птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. Но если честно, я ни разу не встречал задачу, в которой пришлось бы использовать достаточность. То есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. Предлагаю в таком виде теорему и формулировать.
Теорема Птолемея. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон
AC·BD=AB·CD+AD·BC.
Меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. Как-то далеко друг от друга они расположены. Вот если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. Это и дало толчок к моему доказательству.
Найдем площадь ABCD двумя
Во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна.
Доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями на 4 треугольника, либо более красиво - рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины,
Если обозначить угол между диагоналями буквой Ф, то
S=(1/2)AC·BD·sin Ф
Угол Ф - это угол между хордами AC и BD, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг AB и CD, высекаемых этими хордами. Через вписанные углы он выражается в виде суммы углов BCA и CBD. Запомним это.
Во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь ABCD как сумму площадей двух треугольников, скажем ABC и ADC, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. Выйдем из положения не совсем обычным Отрежем от четырехугольника треугольник ABC (останется нетронутым треугольник ADC) , перевернем ABC другой стороной и "приклеим" на старое место. Если Вы не любите "играть в бирюльки" и хотите "математическое рассуждение", то вот оно. Рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный AC, и рассмотрите точку B', симметричную точке B относительно этого диаметра. Конечно, она снова лежит на окружности, при этом AB=CB'; BC=B'A. Иными словами, мы получили четырехугольник AB'CD, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. Разобьем четырехугольник AB'CD на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. Тогда
(углы DAC и DBC опираются на одну дугу и поэтому равны, углы CAB' и BCA опираются на равные хорды B'C и AB и поэтому равны).
Сравнив две полученные формулы для площади ABCD, получаем искомую формулу.
Пример на использование теоремы Птолемея.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB=1, AC=2, AD=6/5, ∠ADC=90°. Найти BD.
Решение. ∠ADC=90°⇒∠ABC=90°, то есть ABCD разбит диагональю AC на два прямоугольных треугольника. С теоремы Пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: BC=√3; CD=8/5. По теореме Птолемея BD·AC=AB·CD+BC·AD; 2BD=8/5+6√3/5; BD=(4+3√3)/5
Заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не сейчас сделать чертеж - очень много дел запланировано на этот вечер. Если кто-нибудь сделает мне его - отдам все заработанные на этой задаче .)))
ambstroy
29.04.2021
Заданы вершины треугольника A(1;4) , B(-3;2) , С(-1;-3). Находим координаты точки М - это середина стороны АВ. М((1+(-3))/2 = -1; (4+2)/2 = 3), М(-1; 3). Уравнение медианы СМ: (х - (-1))/(-1 - (-1)) = (у - (-3))/(3 - (-3)), (х+1)/0 = (у+3)/6 6х + 6 = 0 х = -1, это прямая, параллельная оси у. Тогда угол между медианой СМ и стороной АС равен: ∠МСА = arc tg(1-(-1))/(4-(-3)) = arc tg(2/7) = = 0.2782997 радиан = 15.945396°.
Проверяем по свойствам векторов CM(0: 6) и СА(2; 7): cosα = |x₁*x₂+y₁*y₂|/(√(x₁²+y₂²)*√(x₂²+y₂²)). cosα = |0*2+6*7|/(√(0²+6²)*√(2²+7²) = = 42/(6*√53) = 7/√53 = 0.961524. Отсюда α = arc cos 0.961524 = 0.2783 радиан = =15.9454 град.
З аксіоми про паралельність прямої та площини: якщо одна з двох прямих паралельна даній площині, то інша пряма або паралельна даній площині, або лежить у ній. Основи трапеції паралельні, основа AD паралельна площині β. Тоді й основа BC паралельна площині β. Але одна з точок прямої BC лежить у площині β, тому і основа BC лежить в даній площині.