На сторонах ab и cd параллелограмма abcd построены вне этого параллелограмма правильные треугольники abe и cdm. докажите, что центр это параллелограмма лежит на одной прямой с точками e и m

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN — параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

Решение:
Треугольник AML равен треугольнику CKN, а треугольник BMN -- треугольнику DKL (по двум сторонам и углу между ними), поэтому ML = KN и MN = KL. Следовательно, MNKL — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения AC и NL. Тогда треугольники AOL и CON равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, O — середина каждого из отрезков AC и NL. Следовательно, O — центр каждого из параллелограммов KLMN и ABCD.

Нудный подход: вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно 0.



А можно так: два вектора коллинеарны, если один равен другому, умноженному на некоторое число. Пусть это число y.
2a - b = y(a + xb)
(2 - y)a - (1 + xy) b = 0
Так как вектора a, b неколлинеарны, то любая их нетривиальная линейная комбинация не равна нулю (иначе: для любых чисел k, m, одновременно не равных нулю, вектор ka + mb не нулевой). Тогда оба коэффициента должны обратиться в ноль:
2 - y = 0 
y = 2
и
1 + xy = 0
1 + 2x = 0
x = -1/2

Рисуем прямоугольник и точку Е на стороне ВС. Рассмотрим треугольник АВЕ. он прямоугольный (угол АВЕ=90 градусов (по определению прямоугольника)) и т.к. угол ЕАВ= 45(из условия), а из суммы углов треугольника находим, что угол ВЕА=  45 градус, следовательно треугольник еще и равнобедренный, следовательно АВ=ВД=3 см.

Отрезок ЕС=ВС-ВЕ=7-3=4 см
Рассмотрим треугольник ЕСД. Он также прямоугольный, т.к. угол ЕСД=90 градусов по определению прямоугольника. следовательно ЕС²+СВ²=ЕД² (по теореме пифагора), т.е. ЕД=√ЕС²+СВ²=√4²+3²=√25=5