Карточка 1. 1. сформулируйте аксиомы а1, а2, а3 стереометрии. сформулируйте и докажите следствия из аксиом. 2. докажите, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна. 3. плоскость µ пересекает стороны ав и ас треугольника авс соответственно в точках в1 и с1. известно, что вс||µ, ав: в1в=5: 3; ас=15 см. найдите ас1. карточка 2. 1. сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности прямой и плоскости. 2. докажите, что если одна их двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. 3. каждое ребро тетраэдра dавс равно 2 см. постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки в, с и середину ребра аd. вычислите периметр сечения. карточка 3. 1. сформулируйте определение скрещивающихся прямых. сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых. 2. докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.. 3.постройте сечение параллелепипеда авсda1b1c1d1 плоскостью, проходящей через точки а, с и м, где м – середина ребра а1d1. карточка 4. 1. сформулируйте определение параллельных плоскостей. сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности двух плоскостей. 2.докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. 3.abcda1b1c1d1 – ребро которого равно 4см. постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки а, d1 и м, где м – середина ребра вс. вычислите периметр сечения. карточка 5. 1. докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 2. докажите , что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. 3. параллельные плоскости α и β пересекают сторону ав углу вас соответственно в точках а1 и а2, а сторону ав угла вас соответственно в точках а1 и а2, а сторону ас этого угла соответственно в точках в1 и в2. найдите аа1, если а1а2=6см, ав2: ав1=3: 2. карточка 6. 1. докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 2. докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. 3. точка с лежит на отрезке ав. через точку а проведена плоскость, а через точки в и с – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках в1 и с1. найдите длину отрезка вв1, если ас: св=4: 3, сс1=8 см.

Карточка 1: 1. Аксиомы стереометрии: а1) Любые две точки пространства можно соединить прямой, принадлежащей этому пространству. а2) Любую прямую, принадлежащую пространству, можно продлить в обоих направлениях до бесконечности. а3) Если две прямые пересекают третью прямую и образуют одинаковые внутренние углы с ней, то эти две прямые параллельны друг другу. Следствия из аксиом: 1. Относительно прямой можно построить плоскость. 2. Через две любые несовпадающие точки можно провести только одну прямую. 3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость. 4. Если прямая пересекает плоскость и принадлежит ей, то она пересекает эту плоскость минимум в двух точках. 2. Доказательство того, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна: Пусть данная прямая обозначается как a, а точка, через которую нужно провести параллельную прямую, обозначается как P. Чтобы построить параллельную прямую, мы должны провести плоскость через точку P, параллельную плоскости, содержащей прямую a. Построим плоскость, проходящую через точку P и содержащую прямую a. Обозначим эту плоскость как α. Пусть существует другая прямая b, проходящая через точку P и параллельная прямой a. Предположим, что прямая b не лежит в плоскости α. Тогда она должна пересекать плоскость α в некоторой точке Q. Так как прямая b параллельна прямой a, она не должна иметь точек пересечения с прямой a. Но точка Q является точкой пересечения прямой b и плоскости α, значит противоречие. Следовательно, предположение о том, что прямая b не лежит в плоскости α, неверно. Это означает, что прямая b должна лежать в плоскости α. Таким образом, через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна. 3. Для решения задачи необходимо использовать свойство параллельных прямых, которое гласит: "Если две прямые параллельны, а одна из них пересекает плоскость, то и другая прямая также пересекает эту плоскость". Дано: В треугольнике АВС сторона АС = 15 см, отрезок ВВ₁: АВ = 5:3. Найти: Длину отрезка АС₁. Плоскость µ пересекает стороны АВ и АС в точках В₁ и С₁ соответственно. Так как ВВ₁: АВ = 5:3, длина отрезка ВВ₁ равна: ВВ₁ = АВ × (ВВ₁:АВ) = 15 см × (5:3) = 25 см. Так как ВС₁ плоскость µ параллельна ВА, ВС₁ также пересекает плоскость µ. Таким образом, отрезки ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точках E₁ и F₁ соответственно, причём отрезок Е₁F₁ параллелен отрезку ВС. Так как отрезок АВС является треугольником, в котором С является вершиной, то отношение Е₁F₁ к АС такое же, как и отношение ВВ₁ к АВ. Итак, СС₁ = АС × (ВВ₁:АВ) = 15 см × (5:3) = 25 см. Ответ: Длина отрезка АС₁ равна 25 см. Карточка 2: 1. Определение параллельных прямой и плоскости: - Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек или имеют одну общую точку, но не имеют других точек пересечения. Теорема: Если прямая и плоскость параллельны между собой, то все прямые, перпендикулярные плоскости и пересекающие данную прямую, также параллельны между собой. Доказательство: Пусть дана плоскость α и прямая b, и они параллельны между собой. Пусть перпендикуляр к плоскости α, проходящий через точку A прямой b, пересекает прямую b в точке B. Предположим, что существует другая прямая с, пересекающая прямую b в точке C, но она не параллельна плоскости α. Также предположим, что прямая с перпендикулярна плоскости α в точке D. Плоскость α параллельна прямой b, поэтому прямые ABD и CBD пересекают плоскость α в точках E и F соответственно. Учитывая, что GD перпендикулярна плоскости α, а EF пересекает плоскость α, получаем противоречие. Следовательно, предположение о том, что существует другая прямая c, пересекающая прямую b в точке C и не параллельная плоскости α, неверно. Т.е. прямая c также параллельна плоскости α. Итак, теорема доказана. 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая параллельная прямая также пересекает эту плоскость. Доказательство: Предположим, что даны две параллельные прямые a и b. Пусть прямая a пересекает плоскость α в точке А. Так как прямая a параллельна прямой b, то прямая b также параллельна плоскости α. Если прямая b не пересекает плоскость α, то противоречие с таким же углом между прямыми a, b и плоскостью α. Следовательно, прямая b пересекает плоскость α. 3. Для построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, С и середину ребра AD, нужно: - Провести прямую, проходящую через точку А и середину ребра AD. - Построить плоскость, проходящую через точки С и перпендикулярную прямой, проведенной на предыдущем шаге. - Эта плоскость будет пересекать треугольник ASD, и периметр сечения будет равен сумме отрезков AS, SD и AD. Чтобы вычислить периметр сечения, нужно знать длины отрезков AS, SD и AD, которые не даны в условии. Чтобы решить эту задачу, нужно предоставить дополнительные данные.