верны ли суждения? 1. основания равнобедренной трапеции равны. 2. диагональ любого прямоугольника делит его на 2 равных треугольника.3. 3. две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны друг другу. 4. вертикальные углы равны. 5. если один из двух смежных углов острый, то другой тупой. 6. если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 7. диагонали ромба равны. 8. существует треугольник с углами 47° , 56° и 87° 9. любой четырехугольник, у которого все углы равны является квадратом. 10. медиана любого треугольника делит угол пополам 11. все углы ромба равны. 12. если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 13. площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. 14. любой четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. 15. сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 16. существует такой четырехугольник, у которого два противолежащих угла равны, а другие два противолежащих угла не равны. 17. диагонали параллелограмма равны. 18. у любой трапеции боковые стороны равны. 19. в тупоугольном треугольнике все углы тупые. 20. в любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся попола

1. Основания равнобедренной трапеции равны.  - нет

2. Диагональ любого прямоугольника делит его на 2 равных треугольника. - да

3. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны друг другу.  - нет

4. Вертикальные углы равны.  - да

5. Если один из двух смежных углов острый, то другой тупой.  - да

6. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.  - нет

7. Диагонали ромба равны.  - нет

8. Существует треугольник с углами 47° , 56° и 87°  - нет

9. Любой четырехугольник, у которого все углы равны является квадратом.  - нет

10. Медиана любого треугольника делит угол пополам  - нет

11. Все углы ромба равны.  - нет

12. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.  - нет

13. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.  - да

14. Любой четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.  - да

15. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.  - да

16. Существует такой четырехугольник, у которого два противолежащих угла равны, а другие два противолежащих угла не равны.  - нет

17. Диагонали параллелограмма равны.  - нет

18. У любой трапеции боковые стороны равны.  - нет

19. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.  - нет

20. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. - да

Треугольник АВС, О -центр, ОН радиус перпендикулярный АВ в точке касания, ОК радиус перпендикулярный АС в точке касания,

четырехугольник АНОК, угол АНО+углуАКО=90, уголА=60, угол НОК = 360-90-90-60=120 

треугольник НОК равнобедренный ОН=ОК=радиусу=1, проводим высоту ОР на НК, угол ОНК=углуОКН=(180-120)/2=30, треугольник ОКР прямоугольный, ОР=1/2 ОК - лежит напротив угла 30, ОР = 1/2=0,5, НР=РК= корень (ОК в квадрате - ОР в квадрате) =

=корень( 1-0,25) = 0,5 х корень3, НК =НР+РК= 2 х 0,5 х корень3 =корень3

треугольник АНК равнобедренный АН=АК как касательные к окружности. проведенные из одной точки, угол АНК=углуАКН = (180-60)/2=60, треугольник АНК равносторонний углы=60, значит АК=АН=НК=корень3

расстояние=корень3

 

Длина основание треугольника равна 14, а медианы, проведённые к боковым сторонам, равны 3√7 и 6√7. Найдите длины боковых сторон этого треугольника 

Пусть дан ∆ АВС, медианы АК и СМ, точка их пересечения - О.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Тогда СО=2/3·СМ=2√7, 

AO=2/3·АК=4√7, 

ОК=1/3·АК=2√7

По т.косинусов 

АС²=АО²+СО²-2*АО*СО*cos ∠АОС

cos ∠АОС=(АС²-АО²+СО²):(-2*АО*СО)

cos ∠АОС=[14²-(4√7)²-(2√7)²]:[-2*(4√7)*(2√7]

cos ∠АОС= -56:2*56= -1/2 - это косинус 120º

Рассмотрим ∆ КОС.

ОК=OC=2√7 (см. выше)

⇒ КОС- равнобедренный. 

∠ КОС =∠КОА-∠АОС=180º-120º=60º ⇒ ∆ СОК - правильный, 

КС=2√7

BC=2KC=4√7

Из ∆ АМО 

АМ²=МО+АО-2*МО*АО*cos∠АОМ

АМ²=(√7)²+(4√7)²-2*(√7)*(4√7)*1/2*cos∠АОМ

АМ²=7+16*7-2*4*7*1/2

АМ²=7+16*7-4*7=7(1+16-4)=91

АМ=√91

AB=2√91

----------

Можно продлить медианы на их длину ( см. рис) и достроить треугольник до параллелограммов АВА₁С и АСВС₁

По свойству диагоналей параллелограмма 

АА₁²+ВС²=2(АВ²+АС²)

и

СС₁²+АВ²=2(АС²+ВС²)

Пусть АВ=с, ВС=а

Тогда можно составить систему уравнений:

|(2*6√7)²+a²=2(c²+14²)

|(2*3√7)²+c²=2(14²+a²)

Решив систему, получим АВ=2√91,  BC=4√7