Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 10 см и 8 см, а меньшее основание - 16 см. найти площадь трапеции

Сначала - вс задачка. Есть равнобедренный треугольник, заданы высота h и основание a, надо найти радиус описанной окружности. 

Самый простой (с точки зрения работы мозга, а не с точки зрения тупого применения формул рассматривать высоту треугольника, как высоту кругового сегмента, отсекаемого хордой длины а. Расстояние до хорды тогда R - h, и мы имеем соотношение (R - h)^2 + (a/2)^2 = R^2; откуда R = (h^2 + (a/2)^2)/(2*h);

При а = h; R = h*(1/2 + 1/8) = 5*h/8; (полезно запомнить); при h = 8; R = 5.

Теперь - собственно решение задачи.

Поскольку А равноудалена от вершин треугольника, её проекция на основание - это центр описанной окружности, а проекция наклонной из точки А равна R = 5;

Поэтому расстояние от А до вершины (любой) равно корень(5^2 + 12^2) = 13;

1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒

∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒

AD = BC.

2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).