40 1) две стороны треугольника равны 4 см и 6 см, а угол между ними - 120°. найдите третью сторону треугольника. 2) два угла треугольника равны 60° и 45°, а сторона, лежащая против большего из них, равна 3√2 см. найдите сторону треугольника, лежащую против меньшего из данных углов. 3) найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 17 см, 25 см и 28 см. 4) найдите наибольшую высоту треугольника, стороны которого равны 9 см, 10 см и 11 см. 5) основа равнобедренного треугольника равна 10 см, а медиана, проведенная к боковой стороне, - 8 см. найдите боковую сторону треугольника. 6) в окружность, радиус которой равен 8 см, вписано трапецию, одно из оснований которой в 2 раза меньше каждой другой стороны. найдите диагональ трапеции. 7) меньшая сторона треугольника, вписанного в окружность, равна 8 см, а вершины треугольника делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2: 3: 7. найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть дана трапеция ABCD, AD=28, BC=21

В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна. то есть AD+BC=AB+CD

Опустим с вершины B трапеции на основание BK высоту BK, тогда

  AK=AD-KD=28-21=7

Пусть высота трапеции BK=x, тогда 

    (AB)^2=(BK)^2+(AK)^2=x^2+7^2

     AB=sqrt(x^2+7^2)

Так как

  AD+BC=AB+CD, то

      21+28=x+sqrt(x^2+7^2)

      sqrt(x^2+7^2)=49-x

      x^2+7^2=(49-x)^2

      x^2+49=2401-98x+x^2

      98x=2352

       x=24, то есть высота трапеции равна 24

  R=H/2

 R=24/2=12 - радиус вписанной окружности

 

Воспользуемся методом координат.

Поставим центр СК в точку D и направим ось X по DC, а ось Y по DA.

Система координат не является прямоугольной декартовой.

Обозначим AB=a, BC =b , CD = c , AD =d.

Имеем координаты точек:

D (0;0)  A (0;d)  C (c;0) , а координаты точки B мы не знаем. Обозначим их как b*x и b*y, где b - длина отрезка BC.

Имеем далее координаты точки Q (0;d/2) - середина DA и P ((c+b*x)/2;b*y/2) - середина BC.

Середина отрезка PQ - точка N по условию.

Её координаты N ((c+b*x)/4; (d+b*y)/4)

Далее находим координаты точки G - середина отрезка AC.

В этой точке медиана, выходящая из вершины B, пересекает сторону AC.

G (c/2;d/2)

Известно, что точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1.

Тогда координаты точки М равны

М = G+(B-G)/3 = ((b*x+c)/3;(b*y+d)/3)

откуда DM=L/3 , DN = L/4, где L=bx+c, by+d