Вравнобедренный треугольник abc вписана окружность с радиусом 5. вторая окружность с радиусом 2 касается равных сторон треугольника, а также первой окружности внешним образом. найдите радиус описанной окружности треугольника abc.

..............................................

Проведем общую касательную через точку касания окружностей. Рассмотрим треугольник, в который вписана меньшая окружность (r), и его вневписанные окружности (r₁, r₂, r₃). Найдем его описанную окружность (R).

r₁=r₂, r₃=5, r=2  

1/r = 1/r₁ + 1/r₂ + 1/r₃

1/2 = 1/r₁ +1/r₁ +1/5 => r₁=20/3  

4R = r₁ + r₂ + r₃ - r  

4R = 20/3 +20/3 +5 -2 => R=49/12  

R₃ - искомая описанная окружность.

R₃/R =5/2 => R₃= 49/12 *5/2 =245/24

Австралия имеет довольно разнообразную историю развития материка. Делят ее две климатические зоны – тропическая и зона умеренного климата. Среднегодовая температура не выше 22 °С. Зимняя температура не опускается ниже 0 градусов. Такой климат, благоприятен для многих животный и вечнозеленых растений. Растения этого континента в течение многих веков вынуждены были при к сложным природным условиям. Растительность Австралии разнообразная, но из-за климатических особенностей преобладают вечнозеленые растения. Животные: часто можно встретить "Древесного кенгуру", "Опоссума" и конечно, же "Собака Динго"... В тропических лесах можно встретить огромное количество птиц самых разных цветов и размеров. Так называемые райские птицы – колибри, медоносы, "Лиро-Хвосты" – Тем не менее спокойно соседствуют с сорными курами – австралийской уникальной для европейца диковинкой!! Для влажных лесов северной и восточной части континента характерны некоторые виды знакомых нам насекомых, например: муравьи, бабочки. Дальше... надеюсь вам понятно, климат: жаркий.

Положим что CAB=a ,тогда из условия CEA=a.
Выразим углы CIM , CKI через a , ACE=180-2a , так как ACB=90 , то BCE=90-(180-2a)=2a-90 , CL-биссектриса , значит EC=KCI=BCE/2=a-45 , аналогично CEL=CEB/2=(180-CEA)/2=90-(a/2) , значит CIK=ECI+CEI=45+(a/2) , откуда CKI=180-(3a/2).
То есть углы в треугольнике IKC равны
I=a/2+45 , C=a-45 , K=180-(3a/2)
По условию IKC равнобедренный , значит надо проверить три условия равенства углов
1) I=C
2) C=K
3) I=K
Подходит только I=K (решая уравнения) , откуда a=135/2
Найдём угол CLK=180-(a-45+180-a)=45 . Получаем
AC/sin45=CL/sina
CL/AB=AC*sina/(AB*sin45)=2*cosa*sina/sqrt(2)=sin(2a)/sqrt(2)=sin135/sqrt(2)=1/2
ответ CL/AB=1/2