Медианы треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, взаимно перпендикулярны. Найдите AC, если AB^2+BC^2=605.

Δ ABC - правильный ⇒ АВ=ВС=АС и ∠А=∠В=∠С=60°
DB=DA=DC=6 ⇒  равные наклонные имеют равные проекции
NB=NA=NC ⇒ N - центр описанной окружности

∠ADN=∠BDN=CDN=30°

Из прямоугольного треугольника АDN
R=AN=3 - катет против угла в 30° градусов равен половине гипотенузы.
H(пирамиды)=DN=√(6²-3²)=√27=3√3 cм.
По формуле нахождения радиуса R окружности, описанной около равностороннего треугольника cо стороной а:
R=(a√3)/3  легко найти сторону треугольника.

3=(a√3)/3  ⇒a=3√3 см.

S(ΔABC)=(1/2)·a·a·sin60°=(a²√3)/4

При а=3√3
S(ΔABC)=(27√3)/4  - площадь основания

Для равностороннего треугольника N- является и центром вписанной окружности

NL=NK=r

r=(a√3)/6=3/2
Из Δ DNL по теореме Пифагора апофема боковой грани

h=DL=√(DN²+NL²)=√(27+(9/4))=3√10/2.

S (бок)=(1/2)·Р ( осн.) ·Н=(1/2)·(9√3·)(3√3)=81/2=40,5  кв см.

О т в е т.3√3 см; 40,5 кв. см

Δ ABC - правильный ⇒ АВ=ВС=АС и ∠А=∠В=∠С=60°
DB=DA=DC=6 ⇒  равные наклонные имеют равные проекции
NB=NA=NC ⇒ N - центр описанной окружности

∠ADN=∠BDN=CDN=30°

Из прямоугольного треугольника АDN
R=AN=3 - катет против угла в 30° градусов равен половине гипотенузы.
H(пирамиды)=DN=√(6²-3²)=√27=3√3 cм.
По формуле нахождения радиуса R окружности, описанной около равностороннего треугольника cо стороной а:
R=(a√3)/3  легко найти сторону треугольника.

3=(a√3)/3  ⇒a=3√3 см.

S(ΔABC)=(1/2)·a·a·sin60°=(a²√3)/4

При а=3√3
S(ΔABC)=(27√3)/4  - площадь основания

Для равностороннего треугольника N- является и центром вписанной окружности

NL=NK=r

r=(a√3)/6=3/2
Из Δ DNL по теореме Пифагора апофема боковой грани

h=DL=√(DN²+NL²)=√(27+(9/4))=3√10/2.

S (бок)=(1/2)·Р ( осн.) ·Н=(1/2)·(9√3·)(3√3)=81/2=40,5  кв см.

О т в е т.3√3 см; 40,5 кв. см