1) Ребро куба равно а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей одной из граней до вершин противолежащей ей грани. 2) Грани DAB и DAC тетраэдра ABCD – прямоугольные треугольники с прямыми углами при точке А. Докажите, что рёбра ВС и AD взаимно перпендикулярны. 3) Отрезки двух наклонных, проведённые из одной точки до пересечения с плоскостью, равны 15 см и 20 см, проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найти проекцию другого отрезка. 4) Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Точка М находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найти это расстояние.

Противоположные грани куба параллельны.

Значит расстоянием между скрещивающимися диагоналями противоположных граней (АВ₁ и D₁C) будет расстояние между параллельными плоскостями - перпендикуляр, проведенный из любой точки одной плоскости к другой.

Ребро AD перпендикулярно боковым граням АВВ₁А₁ и DCC₁D₁.

Значит, АD - расстояние между параллельными плоскостями АВВ₁А₁ и DCC₁D₁. Следовательно

расстояние между  прямыми АВ₁ и D₁C равно а.

Объяснение:

Рассмотрим четырёхугольник ABCD.

По условию задачи имеем:

AB = BC и AD = DC.

Опустим высоту BH треугольника ABC из вершины B на основание AC.

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный и высота BH является одновременно и медианой, т.е. AH = CH.

Аналогично опустим высоту DG треугольника ADC из вершины D на основание AC.

Так как AD = DC, то треугольник ADC - равнобедренный и высота DG является одновременно медианой, т.е. AG = CG.

Так как AH = CH и AG = CG, то точки H и G совпадают.

BH и DG перпендикулярны AC и точки H и G совпадают.

Следовательно, BH и DG лежат на прямой перпендикулярной AC и BD является диагональю четырехугольника ABCD.

Итак получили, что диагонали AC и ВD перпендикулярны, что и требовалось доказать.

можете не благодарить

ответ: 4/1.

Объяснение:

По свойству биссектрисы треугольника имеем:

AK/KM = AB/BM = 3/2,

AL/LM = AC/CM = 4/1,

Кроме того:

S(ABK)/S(BKM) = (0,5*h*AK)/(0,5*h*KM) = AK/KM = 3/2,

то есть S(ABK) = (3/2)*S(BKM).

S(ACL)/S(CLM) = (0,5*h*AL)/(0,5*h*LM) = AL/LM = 4/1 = 4,

то есть S(ACL) = 4*S(CLM),

S(ABM)/S(ACM) = (0,5*h*BM)/(0,5*h*CM) = BM/CM = 2/1 = 2.

Кроме того: S(ABM) = S(ABK) + S(BKM)

S(ACM) = S(ACL) + S(CLM),

поэтому

( S(ABK) + S(BKM) )/( S(ACL) + S(CLM) ) = 2,

( (3/2)*S(BKM) + S(BKM) )/( 4*S(CLM) + S(CLM) ) = 2,

( (5/2)*S(BKM) )/( 5*S(CLM) ) = 2,

( (1/2)*S(BKM) )/S(CLM) = 2,

S(BKM)/S(CLM) = 2*2 = 4.