ВЫЗЫВАЮ ПОЯСНИТЕЛЬНУЮ БРИГАДУ!1!1!ЕГЭ Проф. математика.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SH в два раза меньше диагонали основания. Точка К делит боковое ребро SA в отношении 1:2, считая от вершины А. Найдите угол наклона прямой КН к плоскости основания пирамиды.​

Правильная пирамида, вершина проецируется в центр описанной окружности основания. В основании квадрат, H - точка пересечения диагоналей. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятcя пополам. SH=AH, AHS - равнобедренный.

Плоскость ASH перпендикулярна основанию (проходит через перпендикуляр SH), наклонная KH лежит в этой плоскости, дальнейшее решение в этой плоскости.

Опустим перпендикуляр KE на AH, KE||SH. По теореме Фалеса AE/EH=1/2, кроме того AE=KE (AEK~AHS).

tg(KHA) =KE/EH =1/2

КМ - средняя линия основания.

SAKM - отсеченная пирамида.

Vsabc = 12

Vsabc = 1/3 Sabc · h

Vsakm = 1/3 Sakm · h, так как эти пирамиды имеют общую высоту.

Рассмотрим треугольники АВС и АКМ:

АК : АВ = 1 : 2

АМ : АС = 1 : 2

угол при вершине А общий, значит треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

k = 1/2

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Sakm : S abc = 1 : 4

Sakm = 1/4 Sabc

Vsakm = 1/3 · 1/4 Sabc · h = 1/4 (1/3 Sabc · h) = 1/4 Vsabc

Vsakm = 1/4 · 12 = 3

КМ - средняя линия основания.

SAKM - отсеченная пирамида.

Vsabc = 12

Vsabc = 1/3 Sabc · h

Vsakm = 1/3 Sakm · h, так как эти пирамиды имеют общую высоту.

Рассмотрим треугольники АВС и АКМ:

АК : АВ = 1 : 2

АМ : АС = 1 : 2

угол при вершине А общий, значит треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

k = 1/2

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Sakm : S abc = 1 : 4

Sakm = 1/4 Sabc

Vsakm = 1/3 · 1/4 Sabc · h = 1/4 (1/3 Sabc · h) = 1/4 Vsabc

Vsakm = 1/4 · 12 = 3