Найти расстояние от центра сферы до плоскости, если :сфера касается сторон треугольника с длинами 10см, 10см и 12см, а центр отстоит на 13см от вершины большего угла

ответ: 7 см, 8 см.

Объяснение: Четырехугольник может быть вписан в окружность только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.⇒   Если угол АВС=60°, то угол АDC=120°.  

Пусть АВ=8 см, ВС=15 см.

 По т.косинусов из ∆ АВС диагональ АВСD  АС²=AB²+BC²-2•AB•BC•cos60°

АС²=8²+15²-2•8•15•0,5⇒

AC²=169

В ∆ АDC  примем АD=x, DC=х+1.

cos120°=-cos60°=(-0,5)

По т.косинусов АС²=x²+(x+1)²-2•x•(x+1)•(-o,5), откуда

169=3x²+3x+1 ⇒

3x²+3x-168=0

Решив квадратное уравнение, получим х₁=7, х₂=-8 (не подходит). ⇒

АD=x=7 см, CD=7 см+1=8 см

Так как известно отношение OD/OB=3/5, то можно обозначить OD=3x (OD=r - значит, 3х - искомый радиус), OB=5x, следовательно BD=8х. Также обозначим АС=а.

Площадь треугольника равна половине произведение его периметра на радиус вписанной окружности:


С другой стороны площадь можно найти как половина произведения основания на высоту:

Тогда выражение для радиуса вписанной окружности примет вид:


Подставим в последнее выражения все ранее введенные обозначения и известные числовые данные:

Зная, что r=3x, получим:


Рассмотрим треугольник АВD: AD есть половина АС, так как BD - высота (следовательно и медиана) равнобедренного треугольника. По теореме Пифагора получим:


Теперь можно найти радиус вписанной окружности:


ответ: 3