Дано:треугольник DFN Угол D-прямой, Угол F в 5 больше угла N Найти: угол F и угол N

Пусть угол N=x, тогда угол F=5x

x+5x=90

6x=90

x=15

Угол F=5*15=75°

Угол N=15°

1.  Так как около  четырехугольника описана окружность, значит сумма противоположных углов А и С равна 180, следовательно <A=180-110=70. <A - вписанный, следовательно дуга, на которую он опирается равна 140. <C - центральный, следовательно он равен дуге, на которую опирается.
ответ: 140

2. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOC:


Найдем <AOC.
 
Прямоугольные треугольники AOC и AOB равны по общей гипотенузе и катету(радиусу), следовательно <BOC=60. 
Длина всей окружности: 
Длина дуги BC

Вторая окружность называется вневписанной. У каждого треугольника есть одна вписанная и три вневписанных окружности.
Понадобится еще несколько точек. 
M - точка касания AC с вписанной окружностью.
N - точка касания BC с вписанной окружностью.
D - точка касания AC с вневписанной окружностью. 
E - точка касания BC с вневписанной окружностью.
L - точка касания AB с вписанной окружностью.
Само доказательство совсем простое и короткое.
MD = MA + AL = AK + AL = 2*AL + KL;
NE = NB + BL = BK + BL = 2*BK + KL; 
очевидно, что MD = NE; (ну, CD = MD + CM; CE = NE + CN; и CD = CE; CM = CN;)
откуда сразу следует AL = BK; чтд.