В выпуклом четырёхугольнике три стороны равны 1, а два угла между ними - 1200. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Треугольники АВС и АМР подобны, так как <В=<P, <C=<M (углы  соответственные при параллельных прямых МР и ВС и секущих АВ и АС  соответственно). Коэффициент подобия - это отношение соответственных  сторон, или высот, или медиан, или периметров этих треугольников.
Значит из подобия треугольников имеем:
АО/АН = k - коэффициент подобия.
Медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1 считая  от вершины (свойство). Значит АО/ОН=2:1. Отсюда ОН=АО:2=24:2=12см. АН=АО+ОН=36см.
Тогда АО/АН=24/36=2/3 = k (коэффициент  подобия).
Из подобия треугольников АВС и АМР:  МР равна ВС*k = 32*(2/3)=21и1/3.
ответ: MP=21и1/3.

Давай обзовём трапецию АВСД, пусть углы А и В будут прямыми.
Тогда АВ - высота трапеции, и это сразу есть одна из сторон.
АВ=8 см

Обозначим меньшее основание ВС ещё буквой х. Раз основание ВС меньше АД на 6 см, то среднюю линию можем выразить как х+3. Тогда площадь трапеции будет S = AB * (x+3) = 8 * х + 24 = 120.
Отсюда найдём х.
х = ВС = (120-24) / 8 = 12 см.

Тогда АД = ВС + 6 = 12 + 6 = 18 см

Осталась боковая сторона СД. Её находим по теореме Пифагора как СД = корень ( 6^2 + АВ^2) = корень (36+64) = 10 см