прямоугольный параллелепипед, CK:KC1=1:2, A1E=EB1, EM=MC1 Найти: KM

A...D1-прямоугольный параллелепипед, CK:KC1=1:2, A1E=EB1, EM=MC1

Найти: KM

        В ∆ KDN  отрезок DE - высота, а  т.к.  KЕ=EN, то и медиана.

Следовательно,  ∆ KDN - равнобедренный, углы DKN=KND.  

Угол NKD= углу MKD Поэтому угол МКN=2 угла N.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.

3N=90° => Угол N=30°.

В  прямоугольном ∆ DЕN  проведем медиану ЕН.

По свойству медианы прямоугольного треугольника ЕН=DH=HN, треугольник ЕНN  и  треугольник DEH- равнобедренные. Угол HED=ЕDN=90°-30°=60°, ∆ DEH –  равносторонний.  

     Точка D по свойству биссектрисы равноудалена от сторон  КМ и КN.

МD=DE, а DE=DH=HN => MD=HN => MN=3MD. Доказано.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения  диагоналей - центр  ромба и она делит высоту ромба так же пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, катеты относятся как 3:4, значит треугольник Пифагоров (или египетский) и отношение  сторон в нем равно 3:4:5. Пусть коэффициент отношения равен Х. Тогда по свойству высоты из прямого угла в этом треугольнике имеем: 12 = 3х*4х/5х =>  х = 5см.

Половины диагоналей равны 3х = 15см и 4х=20см, а диагонали, соответственно, равны d=30см и D=40см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S = 30*40/2 = 600см².