Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 5 раз меньше угла при вершине

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 10, АС = 4.

Если провести отрезки через вершину, середину боковой стороны и середину основания треугольника, то получим равнобедренный треугольник ВДЕ с двумя сторонами ВЕ и ДЕ по 5 и третьей ВД, равной высоте Н исходного треугольника.

Находим Н = √(10² - (4/2)²) = √(100 - 4) = √96 = 4√6.

Высота треугольника ВДЕ из точки Е на ВД равна (4/2)/2 = 1.

Площадь ВДЕ = (1/2)*1*(4√6) = 2√6 кв.ед.

Отсюда получаем ответ, использовав формулу:

R = (abc)/(4S) = (5*5*4√6)/(4*2√6) = 25/2 = 12,5 ед.

Для первого рисунка:

1. Рассмотрим треугольники KCA и PAC - прямоугольные.

1) AK=PC (по условию)

2) AC - общая

=> треугольники KCA и PAC равны по катету и гипотенузе

2. Из равенства треугольников следует, что углы KAC=PCA => треугольник ABC - равнобедренный (по свойству равнобедренных треугольников)

Ч.т.д.

Для второго рисунка:

1. Рассмотрим треугольники ABD и ACD - прямоугольные:

1) AD - общая

2) углы 1=2 (по условию)

=> треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе и прилежащему острому углу

2. Из равенства треугольников следует, что AB=CD

Ч.т.д.