В треугольнике ABC угол A в три раза больше угла C. Докажите что 4AB>BC​

Сделаем рисунок. 
 Продлим сторону АС треугольника от вершины А.  
Опустим из В перпендикуляр ВН на АС. 
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка,  проведенного из точки перпендикулярно  этой прямой.  
ВН и есть расстояние от В до АС. 
Так как ∠ВАС= 150°, смежный с ним ∠ВАН=30°, и тогда  
ВН=АВ*sin(30°)=1cм  
Двугранный угол - это часть пространства, заключенная между  двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу
 Треугольник АВС лежит в плоскости - назовем ее β-, и эта  плоскость пересекается с плоскостью α по прямой АС.  
Величина двугранного угла ВАСВ1 равна величине линейного  угла ВНВ1 
Угол ВНВ1=45° 
Расстояние от В до плоскости α - опущенный на неё  перпендикуляр ВВ1. 
 ВВ1- катет прямоугольного треугольника с острыми углами 45°,  
следовательно,   
ВВ1=ВН*sin(45°)=(1*√2):2=0,5√2  
ответ: Расстояние от В до плоскости равно 0,5√2см, до прямой АС=1 см 

2) при построении получается, что mn это средняя линия треугольника она равна половине основания, тоесть mn=3 см. Рассмотрим теперь 2 треугольника оmn и треуг aob . угол aob= углу mоn =120 град. проведя высоты в этих треугольниках, по теореме пифагора можно найти ао и оn. из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что катет лежащий против угла 30 град =половине гиппотенузы. возьмем за х катет, тогда гиппотенуза=2х , так как высота в ранобедренном треуг опущенная из вершины на основание явл медианой, то она делит основание пополам. ао=2x решаем уравнение (2х)^2=3^2+x^2 4x^2=9+x^2 3x^2=9 ао =2*корень квадр 3, аналогично найдешь оn.  ао+on=an