Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5 см. Точка А рівновіддалена від кожної вершини трикутника на 13см. Обчислити відстань від точки А до площини трикутника.

по т.косинусов

cosB = (16+9 - AC^2) / 24

по т.синусов

AC = 3sinB / sinA

24cosB = 25 - (9(sinB)^2) / (sinA)^2 = 25 - 9(1-(cosB)^2) / (sinA)^2

24cosB*(sinA)^2 = 25(sinA)^2 - 9 + 9(cosB)^2

9(cosB)^2 - 24(sinA)^2 * cosB + (25(sinA)^2 - 9) = 0 ---кв.трехчлен относительно cosB

D = 24*24*(sinA)^4 - 4*9*(25(sinA)^2 - 9) = 24*24*(sinA)^4 - 36*25(sinA)^2 + 81*4 = 

24*24*455*455 / (48^4) - 36*25*455 / (48^2) + 324 =

(455*455 - 36*25*455*4) / (48^2 * 4) +324 = (455(455 - 3600) + 324*4*48*48) / (48^2 * 4) = 

(324*4*48*48 - 455*3145) / (48^2 * 4) = (1247 / 96)^2

cosB = (24(sinA)^2 + 1247 / 96) / 18 = (455+1247) / (96*18) = 1702 / (96*18) = 851 / 864 ---в этом случае угол В не будет наибольшим... (угол С будет больше)

cosB = (24(sinA)^2 - 1247 / 96) / 18 = (455-1247) / (96*18) = -792 / (96*18) = -396 / 864 = -11/24

Прямая Е1F II ВC1 (ну, мелочи сами обоснуйте :)), поэтому плоскость В1Е1FA II  ВC1 (тут надо обосновать уже то, что такую плоскость МОЖНО провести). Поэтому расстояние между прямыми AB1 и BC1 - это расстояние от BC1 до плоскости B1E1FA. 

Можно пойти еще дальше, и построить плоскость, содержащую BC1 и параллельную плоскости B1E1FA. Это - плоскость BC1D1E. Расстояние между прямыми AB1 и BC1 равно расстоянию между этими параллельными плоскостями. 

А теперь (главное - не останавливаться !:) ) можно построить плоскоть, перпендикулярную ОБЕИМ постороенным плоскостям. Если К - середина CD, К1 - середина C1D1, M - середина AF, M1 - середина A1F1, то плоскость KK1MM1 перендикулярна BC1D1E, потому что содержит КМ, перпендикулярную BE, а ВЕ перпендикулярна и КК1, и плоскость KK1MM1 перпендикулярна B1E1FA, поскольку содержит В1Е1, а В1Е1 перпендикулярна КК1 (напоминаю, что если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны).

Поскольку плоскость КК1М1М пересекает ВС1D1E по прямой К1О (O - центр нижнего основания) и АВ1Е1F по прямой О1М (О1 - центр верхнего основания), то задача свелась к нахождению расстояния между параллельными прямыми К1О и О1М. 

Ну, и чтобы уж совсем стало просто - такое расстояние очевидно равно высоте к гипотенузе в прямоугольном треугольнике К1ОО1 (это - расстояние от О1 до К1О).

ОО1 = 1, К1О1 =  √3/2, ОК1 = √(ОО1^2 + K1O1^2) = √7/2;

h = K1O1*OO1/OK1 = √(3/7)

С тем же успехом вместо KK1M1M можно взять плоскость АСС1А, которая ей параллельна. Но в этом случае муторнее доказывать перпендикулярность плоскостей (хотя тоже не сложно). 

Еще раз - смысл решения. Я построил ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ плоскости, каждая из которых содержит ОДНУ из скрещивающихся прямых. Такое построение для двух скрещивающихся прямых ЕДИНСТВЕННО, и расстояние между прямыми равно расстоянию между построенными плоскостями. Затем я построил плоскость, перпендикулярную ОБЕИМ параллельным плоскостям (достаточно доказать перпендикулярность одной из них) . И - последнее, - я нашел расстояние между параллельными прямыми, по которым эти три плоскости пересекаются. Это и есть искомое расстояние.