Почему прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, называется кубом?

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, опи­сан­ный во­круг сферы, яв­ля­ет­ся кубом. Его объём равен кубу его ребра. Ребро куба вдвое боль­ше ра­ди­у­са сферы.

Cм. рисунок в приложении.
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Отмечены на рисунке штрихами.
Получили 4 пары равных прямоугольных треугольников ( по двум катетам: один радиус- высота, вторые отмечены)
Четырехугольник разбит на области
1 и 2 - составляют треугольник с основанием 5 и высотой, равной радиусу
Таких областей две, одна из них розового цвета
3 и 4 составляют треугольник с основанием 15 и высотой, равной радиусу
Таких областей две, одна из них серого цвета

S=2·(5·4,5)/2+2·(15·4,5)/2=5·4,5+15·4,5=(5+15)·4,5=90 кв. ед

Диагональ квадрата находим по теореме Пифагора
d²=4²+4²=16+16=32
d=4√2 
Она является радиусом окружности описанной около правильного треугольника со стороной а
R=2√2
Радиус описанной около правильного треугольника окружности выражаем через сторону правильного треугольника а
Высота треугольника является одновременно и медианой
h=a·sin 60°=a√3/2
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,  считая от вершины
Точка пересечения медиан правильного треугольника является одновременно и радиусом описанной и радиусом вписанной окружности
R=(2/3)·H=(2/3)·a·(√3/2)=a√3/3
ПОЛЕЗНО ЗАПОМНИТЬ
R=a√3/3

Заменяем R на найденное значение 2√2, решаем уравнение
a√3/3=2√2     ⇒   a=2√6
ответ. сторона правильного треугольника равна 2√6