3-4 занимательных задачи на параллельность и перпендикулярность занимательных на наглядную геометрию

1.Пусть одна сторона равна х, тогда другая 6х. У параллелограмма противолежащие стороны равны. Сумма сторон равна 84. Тогда составим уравнение

х+х+6х+6х=84

14х=84

х=84:14

х=6

Тогда 6х=6×6=36

Проверка: 6+6+36+36=84

ответ: 6; 6; 36; 36

2.В прямоугольнике противоположные стороны равны. Значит ВС=АD=18см

BD и АС являются диагоналями прямоугольника ABCD.

Диагонали в прямоугольнике равны, т.е BD=АС=22см

О-точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам. Значит ОD=ОА=ОВ=ОС=1/2 BD=11см

Рboc=ОB+ОC+ВC

Рboc=11+11+18=40см

3.диагонали ромба являются биссектрисами его углов (то есть делят их пополам);

сумма соседних углов ромба равна 180°;

противоположные углы ромба равны

4.Диагональ АС делит параллелограмм на 2 подобных треугольника. Углы NAB=PCD, угол ABN=CDP и следовательно углы BNA= СPD, отсюда следует что прямоугольники ABN и CDP также подобны. Следовательно прямые BN и PD равны между собой. Что и требовалось доказать

5.Примем коэффициент отношения AF:FD=a. Тогда AF=a, FD=5a. Их сумма 6а=18 см, ⇒ а=18:6=3 см. Отрезок АF=3 см,  отрезок FD=5•3=15 см АВСD - параллелограмм. ВС║AD, CF – секущая. ∠ВСF=∠СFD как накрестлежащие. Но ∠FCD=∠BCF (СF – биссектриса) ⇒ ∠CFD=∠FCD . Углы при основании FC треугольника FDC равны, следовательно, он равнобедренный и CD=FD=15 см ( свойство). Запомним: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.   Противоположные стороны параллелограмма равны, ⇒ АВ=CD=15 см. Периметр =сумма всех сторон АВСD. Р=2•(18+15)=66 см

Сторона правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

a(n) = 2R·sin(180°/n)

1. a₃ = 2R · sin(180° / 3) = 2R · sin60° = 2R√3/2 = R√3

R = a₃ / √3 = 9 / √3 = 3√3 см

С = 2πR = 2π · 3√3 = 6π√3 см

2. a₄ = 2R · sin(180°/4) = 2R · sin45° = 2R · √2/2 = R√2

R = a₄ / √2 = 10 / √2 = 5√2 см

S = πR² = 50π см²

3. Центральный угол правильного восьмиугольника:

α = 360° / 8 = 45°

Центральный угол, соответствующий дуге АВС, состоит из двух центральных углов, поэтому ∠АОВ = 45° · 2 = 90°.

Длина дуги: l = 2πR · α / 360°

l = 2π · 6 · 90° / 360° = 3π см

4.   Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу 90°, равна 12 см². Найдите площадь круга.

Такой сектор - это четверть круга. Значит площадь круга в 4 раза больше:

S = 12 · 4 = 48 см²