9. У прямокутному трикутнику KPE ZP = 90°, 2K = 60°. На катетi PE взятоточку М таку, що ZKMP = 60°. Знайдіть PM, якщо EM = 16 см.​

Даны точки С(2;2),D(6;5),E(5;2) - вершины треугольника.
Для нахождения равнения прямой,содержащей медиану,проведённую из вершины С, достаточно иметь координаты двух точек.
Одна - точка - известна: С(2; 2).
Вторая точка М - это середина отрезка ДЕ:
Хм = (6+5)/2 = 11/2 = 5,5.
Ум = (5+2)/2 = 7/2 = 3,5.
В уравнение прямой вида у = кх + в подставим координаты известных точек.
2 = к*2 + в,          в = 2-2к,
3,5 = к*5,5 + в     в = 3,5-5,5к
2 - 2к = 3,5 - 5,5к
3,5к = 1,5
к = 1,5/3,5 = 3/7.   в = 2 - 2*(3/7) = 2-(6/7) = 8/7.
Уравнение: у = (3/7)х + (8/7).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Следовательно, достаточно найти уравнения двух любых высот треугольника и точку их пересечения, решив систему двух уравнений.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Значит надо найти уравнение стороны треугольника и уравнение прямой, проходящей через противоположную вершину, перпендикулярно этой стороне.

Уравнение прямой АВ найдем по формуле:

(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya). Или

(X+4)/2=(Y-0)/-2 - каноническое уравнение =>

y=-x-2 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-1.

Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1=1.

Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АВ из вершины С

найдем по формуле:

Y-Yс=k1(X-Xс) или Y-2=X-2 =>

y=х (1) - это уравнение перпендикуляра СС1.

Уравнение прямой АС:

(X-Xa)/(Xс-Xa)=(Y-Ya)/(Yс-Yа). Или

(X+4)/6=(Y-0)/2 - каноническое уравнение =>

y=(1/3)x+4/3 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=1/3.

Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1 = -3.

Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АС из вершины В

найдем по формуле:

Y-Yb=k1(X-Xb) или Y+2=-3(X+2) =>

y=-3х-8 (2)- это уравнение перпендикуляра BB1.

Точка пересечения перпендикуляров имеет координаты:

х=-3х - 8 (подставили (1) в (2)) => х = -2.

Тогда y = -2.

ответ: точка пересечения высот совпадает с вершиной В(-2;-2)

треугольника, то есть треугольник прямоугольный с <B=90°.

Для проверки найдем длины сторон треугольника:

АВ=√(((-2-(-4))²+(-2)²) = 2√2.

ВС=√(((2-(-2))²+(2-(-2))²) = 4√2.

АС=√(((2-(-4))²+2²) = 2√10.

АВ²+ВС² = 40; АС² = 40.

По Пифагору АВ²+ВС² = АС² - треугольник прямоугольный.