Дано: ⌣AB:⌣BC:⌣AC=3:4:5. Найдите ∠AOB, ∠BOC, ∠AOC.

90°, 120°, 150°

Объяснение:

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда (АВ=3х, (ВС=4х, (АС=5х. Градусная мера полной окружности 360°, поэтому

3х+4х+5х=360°, 12х=360°, х=30°

(АВ=3х=30°×3=90°, (ВС=4х=30°×4=120°, (АС=5х=30°×5=150°

<АОВ, <ВОС и <АОС - центральные, которые опираются на дуги соответственно (АВ, (ВС и (АС, поэтому градусные меры углов равны градусным мерам дуг:

<АОВ=(АВ=90°, <ВОС=(ВС=120°, <АОС=(АС=150°

Площадь треугольника OCD в два раза больше площади тр-ка OCB, а высоты, опущенные из вершины C на OD и BO совпадают. Поскольку площадь треугольника может быть посчитана по формуле "половина произведения основания на высоту", отсюда следует, что OD в два раза больше, чем BO. А поскольку у треугольников DAO и BAO высоты, опущенные из вершины A, совпадают, площадь AOD в два раза больше, чем площадь AOB, то есть площадь AOD равна 12.

Можно рассуждать по-другому. Есть теорема, по которой произведение площадей треугольников AOB и COD равно произведению площадей треугольников AOD и BOC, откуда неизвестная площадь тр-ка AOD = 6·8/4=12. Доказательство этой теоремы очень простое, основывается на вычислении площади треугольника по формуле "половина произведения сторон и на синус угла между ними", а также на формуле приведения sin (180°-α)=sin α. 

Перпендикуляр, опущенный к диагонали из прямого угла, образует два угла, один из которых составляет 1 часть, а другой - 2 части. В сумме прямой угол составляет 3 части, значит 90:3=30° Это меньший угол. В прямоугольном треугольнике, получившемся при проведении перпендикуляра, находим третий угол между стороной прямоугольника и его диагональю 180-(30+90)=60° Его смежный угол равен 90-60=30° В треугольнике, образованном стороной прямоугольника и его диагоналями, углы при основании равны, т. к. он равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 180-(30+30)=120° Находим искомый острый угол между диагоналями прямоугольника 180-120=60°