Даны треугольники авс и а1в1с1 с высотами сd и c1d1; угол в= углу в1= 45°, cd= c1d1, ab=a1b1. докажите, что треугольник авс = а1в1с1.

ΔBCD и ΔB₁C₁D₁ - прямоугольные : ∠CDB = ∠C₁D₁B₁= 90°;
∠B = ∠B₁ = 45°;   CD = C₁D₁   ⇒
ΔBCD = ΔB₁C₁D₁   (по катету и противолежащему углу)  ⇒
гипотенузы   CB = C₁B₁

ΔABC и ΔA₁B₁C₁  :
∠B = ∠B₁ = 45°;  AB = A₁B₁  (по условию);  CB = C₁B₁ (доказано) ⇒
ΔABC = ΔA₁B₁C₁  по двум равным сторонам и углу между ними

АВСДА1В1С1Д1 - правильная призма. Основаниями правильной четырехугольной призмы являются квадраты.
Найдем сторону этого квадтара (ребро при основании)
АВ = √18 = 3√2 см
ВД1 - диагональ призмы.
Найдем ВД - диагональ основания
ВД = 3√2 * √2 = 6 см
Так как диагональ ВД1 наклонена к плоскости основания по углом 45, то треуг. ВВ1Д1 прямоугольный и равнобедренный. Высота призмы ВВ1 = ВД = 6 см.
Площадь боковой поверхности цилиндра, описаного около призмы равна произведению длины окружности в основании на высоту цилиндра.
Высота цилиндра равна высоте призмы, т.е. 6 см.
Диаметром окружности является диагональ основания призмы ВД.
S (боковое) = П * 6 * 6 = 36*П см.

По условию в фигуру можно вписать окружность радиуса r = 7, и её центр лежит в середине диагонали BD.
Диагональ BD является биссектрисой углов B и D четырехугольника ABCD. То есть фигура симметрична относительно этой диагонали. Это означает, что диагональ AC = 50 перпендикулярна диагонали BD и делится ею пополам. 
Дальше, r = (BD/2)*sin(B/2) = (BD/2)*sin(D/2);
что означает, что углы B и D равны.
То есть четырехугольник является ромбом, а центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей и делит ОБЕ диагонали пополам. 
Легко увидеть, что этот ромб составлен из 4 прямоугольных треугольников с высотой 7 и одним из катетов 25. 
Не знаю, как - кому, а мне так кажется, что этот треугольник подобен Пифагоровому треугольнику (7,24,25), причем большему катету 24 соответствует половина диагонали AC, то есть коэффициент подобия равен 25/24;
все это можно и так описать - проекция половины диагонали AC на боковую сторону равна 24, так как 24^2 = 25^2 - 7^2; и (BD/2)/7 = 25/24;
То есть BD/2 = 7*25/24; 
S = 50*7*25/24 = 4375/12;