На стороне AC треугольника ABC взяли произвольную точку M. На отрезке BM взяли произвольную точку K. Докажите, что площадь треугольников ABK и CBK относятся как AM:MC

H1, H2 - расстояния от точек A и C до прямой BM.

Площади треугольников с равными высотами относятся как основания.

S(MAK)/S(MCK) =AM/MC

Площади треугольников с равными основаниями относятся как высоты.

S(BAK)/S(BCK) =H1/H2 =S(MAK)/S(MCK) =AM/MC

Тут важно знать след. особенность: во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы. 
Вычислить площадь треугольника, в данном случае, можно произведением половины высоты на гипотенузу.
Осталось найти медиану.
Высота и медиана образуют катет и гипотенузу прямоугольного треугольника соответственно. Тогда, зная катет этого треугольника (7см), по теореме Пифагора:
 
Значит, гипотенуза исходного треугольника равна 2*25=50см.
Найдем площадь:

ответ: 600 см в кв.

Тут важно знать след. особенность: во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы. 
Вычислить площадь треугольника, в данном случае, можно произведением половины высоты на гипотенузу.
Осталось найти медиану.
Высота и медиана образуют катет и гипотенузу прямоугольного треугольника соответственно. Тогда, зная катет этого треугольника (7см), по теореме Пифагора:
 
Значит, гипотенуза исходного треугольника равна 2*25=50см.
Найдем площадь:

ответ: 600 см в кв.