В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведены два сечения. Первое – через ребро BC и середину ребра AA1 , второе – через ребро AA1 и точку M на ребре CD. Отрезок, по которому пересекаются эти сечения, делит каждое из них на две части, отношение площадей которых одинаково для обоих сечений. Найдите CM:CD.

Сделаем рисунок. Обозначим вершины трапеции АВСД.
Опустим из вершины С тупого угла высоту СН. 

По свойству высоты равнобедренной трапеции, опущенной из вершины тупого угла, она делит основание на отрезки, бóльший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности. 
Диагональ, высота и бóльший отрезок основания образуют прямоугольный треугольник АСН  с углом САН=60°.
Т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ∠АСН=30°
Катет АН противолежит этому углу и по свойству такого катета равен половине гипотенузы.  
Гипотенуза=диагональ = 4. 
АН=4:2=2 см
АН – полусумма оснований, т.е. она равна средней линии трапеции, Это ответ. 

Проведем среднюю линию трапеции MN и две высоты из тупых углов.  

АН=АС:2=2 (найдено в первом варианте). 

КР=1 – средняя линия ∆ АСН. ЕН=КР=1 ( КРНЕ - прямоугольник по построению). 

Тогда АЕ=1, и МК=РN=0,5 – средняя линия равных ∆ АВЕ и СDH

МN=МК+KP+PN=2 см.

Более 4000 тысяч лет назад у одного человека из рук выпала фарфоровая плитка и разбилась на семь частей. Расстроенный, он в спешке старался ее сложить, но каждый раз получал все новые интересные изображения. Это занятие оказалось настолько увлекательным, что впоследствии квадрат, составленный из семи геометрических фигур, назвали Доской Мудрости. 

Легенда вторая: три мудреца придумали «Ши-Чао-Тю».

Появление этой китайской головоломки связано с красивой легендой. Почти две с половиной тысячи лет тому назад у немолодого императора Китая родился долгожданный сын и наследник. Шли годы. Мальчик рос здоровым и сообразительным не по летам.Одно беспокоило старого императора: его сын, будущий властелин огромной страны, не хотел учиться. Мальчику доставляло большее удовольствие целый день забавляться игрушками. Император призвал к себе трех мудрецов, один из которых был известен как математик, другой прославился как художник, а третий был знаменитым философом, и повелел им придумать игру, забавляясь которой, его сын постиг бы начала математики, научился смотреть на окружающий мир пристальными глазами художника, стал бы терпеливым, как истинный философ, и понял бы, что зачастую сложные вещи состоят из простых вещей. Три мудреца придумали "Ши-Чао-Тю"- квадрат, разрезанный на семь частей.