На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС=72 и ВС=3. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Достроим треугольник до квадрата симметрично его гипотенузы.
Площадь квадрата вдвое больше площади треугольника, то есть Sк=2Sт=2·40.5=81 см².
Площадь квадрата: Sк=d²/2 ⇒ d=√(2·Sк)=√(2·81)=9√2 см, где d - диагональ квадрата и гипотенуза треугольника.
Сторона квадрата: a=d/√2=9 см. 
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
Длина описанной окружности: C=2πR=πd=9√2π см - это ответ.
Формула радиуса вписанной окружности: r=(a+b-c)/2. a=b, c=d.
r=(2a-d)/2=(2·9-9√2)/2=9(2-√2)/2.
Длина вписанной окружности: c=2πr=9(2-√2)π см - это ответ.

Площадь поверхности призмы состоит из суммы площадей боковой поверхности и площадей 2-х оснований.  

Пусть основание призмы – равнобокая трапеция АВСД, ВН и CН' -  её высоты. 

АД=АН+НН'+ДH';  HH'=BC=6 см

BH=CH', АВ=СД,  ⇒ ∆ АВН=∆ДСН', 

АН=ДН'=(12-6):2=3см

∆ АВН - египетский, ВН=4см (  проверьте по т. Пифагора )

Тогда S АВСД=0,5•(ВС+АД)•4=36 см²

Площадь боковой поверхности - произведение периметра основания на высоту. Т.к. призма прямая, её высота равна боковому ребру. 

S бок=(2•5+6+12)•4=112 см²

S полн=2•36+112=184 см²

Объем прямой призмы равен произведению высоты на площадь основания.  

V=4•36=144 см³