3.Через точку О перетину діагоналей паралелограма ABCD до його площини проведено перпендикуляр ОМ завдовжки 4 см. Знайдіть відстань від точки М до прямих, що містять сторони паралелограма, якщо АВ = 12см, ВС= 20 см,  BAD 30 . 4. Через вершину прямого кута С трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр СК. Відстань від точки К до прямої АВ дорівнює 13см. Знайдіть відстань від точки К до площини трикутника, якщо його катети дорівнюють15см і 20см. 5.Через вершину D трикутника DEF до його площини проведено перпендикуляр DS завдовжки 16 см. Знайдіть відстань від точки S до сторони EF, якщо DE=13 см, DF= 15 см, EF = 14 см. 6.У трикутник АВС вписано коло з центром О. Через точку О до площини трикутника проведено перпендикуляр SO довжиною 5 см. Точка S віддалена від сторони АВ на 13 см. Знайдіть радіус вписаного кола.

Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего. 

Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью

Sosn =20*21/2 = 210,

и грани пирамиды имеют одинаковый наклон. 

Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть  - это центр вписанной окружности.

Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r. 

Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так

Sb = (1/2)*Р*h;

где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней), 

Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.

Итак,

H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;)

H = 6; это высота пирамиды

Sosn = 210; 

Sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2);

Полная поверхность 210*(1 + корень(2));

 

Если третья сторона будет=1 см, то не получится неравенство: 1см+1см= 2 см, тогда 3см>2 см, а должно быть<. Если третья сторона = 2 см, то неравенство опять не получится: 2+1=3, тогда 3=3, так тоже не может быть, т.к. одна из сторон треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. Если третья сторона =3 см, тогда 1+3=4, 3<4, неравенство выполняется, 3+3=6, 3<6- неравенство получается. Возьмем 4 см: 3+1=4, 4=4- не получается, значит и в последующих числах не получится. ответ: 3 см