Відрізок А1В1 — паралельна проекція відріз- ка АВ на площину α (мал. 248 Знайдіть дов- жину відрізка ММ1, якщо АA1 ⎜⎜ ВB1 ⎜⎜ММ1, АМ : МВ = 3 : 2 і АА1 = 14 см, ВВ1 = 10 см.

Внизу

Объяснение:

Подобны, Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые ребра и высота разделены на пропорциональные части;

2) многоугольник сечения подобен основанию;

3) площади основания и сечения относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательство:

1) Так как \beta\||\alpha и они пересечены плоскостью грани ASB по прямым A_{1}B_{1} и AB , то A_{1}B_{1}||AB. Аналогично получим, что B_{1}C_{1}||BC, C_{1}D_{1}||CD и т. д. и B_{1}H_{1}||BH. На сторонах углов ASB, BSC, CSD, ... , BSH получим пропорциональные отрезки:

\frac{SA_{1}}{A_{1}A} = \frac{SB_{1}}{B_{1}B}; \frac{SB_{1}}{B_{1}B} = \frac{SC_{1}}{C_{1}C}; \frac{SC_{1}}{C_{1}C} = \frac{SD_{1}}{D_{1}D}; \ldots  ; \frac{SB_{1}}{B_{1}B} = \frac{SH_{1}}{H_{1}H}.

Отсюда:

\frac{SA_{1}}{A_{1}A} = \frac{SB_{1}}{B_{1}B} = \frac{SC_{1}}{C_{1}C} = \frac{SD_{1}}{D_{1}D} =\ldots= \frac{SH_{1}}{H_{1}H}.

2) \triangle{A_{1}SB_{1}}\sim\triangle{ASB}; \triangle{B_{1}SC_{1}}\sim\triangle{BSC}; \triangle{C_{1}SD_{1}}\sim\triangle{CSD}

и т.д. Значит

\frac{A_{1}B_{1}}{AB} = \frac{SA_{1}}{SA}; \frac{B_{1}C_{1}}{BC} = \frac{SB_{1}}{SB}; \frac{C_{1}D_{1}}{CD} = \frac{SC_{1}}{SC} и т.д.

Но правые отношения в этих пропорциях равны между собой на основании только что доказанной первой теоремы, поэтому равны между собой и левые отношения:

\frac{A_{1}B_{1}}{AB} = \frac{B_{1}C_{1}}{BC} = \frac{C_{1}D_{1}}{CD} и т.д.

Т. е. стороны многоугольников A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1} и ABCDE пропорциональны. Соответствующие углы этих многоугольников равны. Следовательно, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1} \sim ABCDE.

3) Пусть Q и Q' — площади основания и сечения. Имеем:

\frac{Q}{Q'} = \frac{A_{1}B_{1}^2}{AB^2};

Но \frac{A_{1}B_{1}}{AB} = \frac{SA_{1}}{SA} = \frac{SH_{1}}{SH} (по теореме 1), поэтому

\frac{Q}{Q'} = \frac{SH_{1}^2}{SH^2}.

1. Расположим АВ между параллельными СК и МР. Соединим С и Р, возьмем середину этого отрезка - точку А.

Проведим через нее прямую АВ, она не может совпадать с СК, т.к. СК и МВ по условию параллельны, т.е. не имеют общих точек. СК параллельна и АВ по условию. Значит, АВ параллелльна МР. Если прямая параллельна двум прямым, то эти две прямые параллельны между собой. МР параллельна СК. Да, собственно, это и по условию сказано.)

Картинку прикрепил.

2. Указанные в задании углы являются соответственными. правда, прямые не параллельны, но углы эти здесь и не равны.

3. Указанные углы смежные, и образуют развернутый угол в 180°