Геометрия 8 класс балов 4 задача

Угол между хордой и касательной равен половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой (свойство), то есть половине градусной меры  дуги АВ.

На дугу АВ опирается центральный угол АОБ, значит дуга АВ = 120°. Значит угол между касательной и хордой в точке касания равен 120°:2 = 60°

ответ: искомый угол равен 60°.

Или так:

В равнобедренном треугольнике АОВ (стороны ОА и ОВ равны - радиусы) углы при основании равны по (180-120):2=30° (сумма углов треугольника = 180°). Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу, значит искомый угол равен 90° - 30° = 60°.

ответ: 60°

На ребре SB от вершины S отложим отрезок SK, равный 1.

Из точки К восстановим перпендикуляры РК и МК к сторонам SA и SC.

Угол РКМ и есть искомый угол при ребре SB.

Находим длины отрезков: РК = 1*tg 60° = √3, МК = 1*tg 30° = 1/√3.

Теперь находим длины отрезков SP и SM:

SP = 1/cos 60° = 1/(1/2) = 2, SM = 1/cos 30° = 1/(√3/2) = 2/√3.

Длина отрезка РМ равна: РМ = √(РК² + МК² - 2*РК*МК*cos (ASC)) =

= √((4/3) + 4 - 2*(2/√3)*5*(1/√3)) = √(8/3).

Можно определить искомый угол:

cos PKM = (PK² + MK² - PM²)/(2*PK*MK) = (3 + (1/3) - (8/3))/(2*√3*(1/√3) =

              = 2/6 = 1/3.

∠PKM = arc cos (1/3) = 1,23096 радиан или 70,5288  градуса.