В прямоугольном треугольнике АFС угол между биссектрисой СК и высотой СН, проведёнными из вершины прямого угла С, равен 15°. Сторона АF = 48 см. Найдите сторону АС, если известно, что точка К лежит между F и Н.

Проведем из вершины  отрезки  , где точка  пересечение с окружностью. Обозначим точку перпендикуляра  с    . 
Получим  четырехугольник  , который вписан  в окружность. 
По теореме Птолемея , так как        лежит  на центре    , то треугольники   прямоугольные. 
. 
Откуда  при подстановке получаем соотношение 
. 
Так как 
Четырехугольник прямоугольник. 
Заметим что  - высота прямоугольного треугольника 
, тогда 
.
Откуда по Теореме Пифагора 
  , так как   является высотой  прямоугольного  треугольника   , то 
  
 тогда 
  

Обозначим трапецию АВСД. угол С=угол Д=90 градусов. так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны ВС+АД=СД+АВ.
проведём высоту ВК. Она разделила трапецию на прямоугольник ДСВК и прямоугольный треугольник АВК. Так как острый уголА = 45 градусов, то второй острый угол АВК = 90-45=45 градусов, значит треугольник равнобедренный, ВК=АК.
Пусть АК=х тогда и ВК=х, по т. Пифагора х²+х²=(12√2)², 2х²=144·2, х²=144, х=12, АК=12 см, ВК=12 см, тогда и СД=12 см.S(ABCD)=1/2·(АД+ВС)·ВК=1/2·(12+12√2)·12=72·(1+√2)