Ребро правильного тетраэдра равно 4 мм. Вычисли площадь полной поверхности. ответ: площадь поверхности равна √3мм2.

Обозначим коэффициент пропорциональности деления высоты за к.
Точка пересечения высоты биссектрисой - Е, основание высоты - точка Д.
Тогда ВЕ = 13к, ЕД = 12к.
Используем свойство биссектрисы - она делит сторону треугольника пропорционально боковым сторонам.
Обозначим коэффициент пропорциональности деления боковых сторон за х.
Отрезок АД = 12х, сторона АВ = 13х.
По Пифагору (13х)² = (12х)²+(12к+13к)²
169х² = 144х²+625к²
(169-144)х² = 625к²
25х² = 625к²
х = 5к
Тангенс половины угла А = 12к / 12х = к / х
Заменим х = 5к и получим tg (A/2) = k / 5k = 1/5.
A/2 = arc tg(1/5) =  0.197396 радиан = 11.30993 градуса.
Угол А =  11.30993*2 =  22.61986 градуса.
Синус этого угла равен  0.384615.
Радиус окружности, около треугольника ABC, равен:
R = a / 2sin A = 10 / (2*0.384615) = 13.

Я вроде уже делал эту задачку. Все очень просто. 
Точка пересечения BE и AD обозначена мной, как K.
Треугольник BAD равнобедренный, потому что биссектриса угла B (то есть - BK) перпендикулярна основанию AD. 
AK = KD = 14;
Это означает, что AB = BD = BC/2.
Само собой, отсюда сразу же следует AE = EC/2, поскольку BE - биссектриса.
Если теперь провести через точку E прямую EF II AD, то DF = CF/2; (F лежит на BC)
Это означает, что DF = BD/3; следовательно, KE = BK/3;
Отсюда BK = 21; KE = 7; 
AB = √(14^2 + 21^2) = 7√13; BC = 14√13;
AE = √(7^2 + 14^2) = 7√5; AC = 21√5;