Стороны угла A касаются окружности с центром O радиуса R. Определи расстояние OA, если ∡A = 90° и R = 4 см.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство:
Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с.
Составим из четырех таких треугольников квадрат со стороной а + b как на рисунке.
Внутри получим квадрат со стороной с.
Площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его фигур:
S = 4·SΔ + c² = 4 · ab/2 + c²
или
S = (a + b)²
Приравняем правые части:
2ab + c² = (a + b)²
2ab + c² = a² + b² + 2ab
c² = a² + b²
Что и требовалось доказать.

Периметр равен 8√2 ед.

Диагонали АС = BD = 4 ед.

Объяснение:

Чтобы найти периметр четырехугольника, необходимо найти длины сторон. Нам даны координаты вершин четырехугольника, значит можно рассматривать стороны (и диагонали) как векторы.

Длина стороны (модуль вектора) равна:

|AB| = √((Xb-Xa)² + (Yb-Ya)²) или |AB| = √((1-(-1))²+(5-3)²) = 2√2.

|BC| = √((Xc-Xb)² + (Yc-Yb)²) или |BC| = √((3-1)²+(3-5)²) = 2√2.

|CD| = √((Xd-Xc)² + (Yd-Yc)²) или |CD| = √((3-1)²+(1-3)²) = 2√2.

|AD| = √((Xd-Xa)² + (Yd-Ya)²) или |AD| = √((1-(-1))²+(1-3)²) = 2√2.

Периметр - сумма всех сторон - равен 8√2 ед.

Точно так же и с диагоналями:

|AC| = √((Xc-Xa)² + (Yc-Ya)²) или |AC| = √((3-(-1))²+(3-3)²) = 4.

|BD| = √((Xb-Xd)² + (Yb-Yd)²) или |BD| = √((1-1))²+(1-5)²) = 4.

P.S. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Все стороны параллелограмма равны - четырехугольник ромб. Диагонали ромба равны - четырехугольник - квадрат.