1) Прямые АВ, АС, AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок ВС, если AD = 2 см, АС = 6 см, BD = 8 см. 2) AD наклонная плоскости α, BD - проекция наклонной AD. Найти расстояние от точки А до плоскости α, если AD = 13 см, BD = 5 см.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA:

AO=0C и BO=OD- по условию;

<BOC = <DOA-как вертикальные;

треугольник ВОС = треугольнику DОА - по двум сторонам и углу между ними.

• В равных треугольниках углы, лежащие напротив равных сторон, равны.

<CBO лежит напротив ОС;

<ADO лежит напротив АО;

OC = AO следует <EBO = <ADO.

<CBO и <ADO - накрест лежащие углы при пересечении ВС и AD с секущей BD.

Раз <CBO=<ADO, то по признаку параллельности прямых получим, что вс|| AD. Что и требовалось доказать.

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1}.
Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²).
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)].
В нашем случае:
Вектор PS(-1-3;3-0) или PS(-4;3) |PS|=√((-4)²+3²)=5.
Вектор SQ(-4-(-1);-1-3) или SQ(-3;-4) |SQ|=√((-3)²+(-4)²)=5.
Вектор QT(0-4;-4-(-1)) или QT(-4;-3) |QT|=√((-4)²+(-3)²))=5.
Вектор PT(0-3;-4-0) или PT(-3;-4) |PT|=√((-3)²+(-4)²))=5.
Итак, четырехугольник PSQT параллелограмм (так как его противоположные стороны попарно равны. А поскольку все его стороны равны, то это или ромб, или квадрат.
Найдем один из углов четырехугольника между сторонами PS и PT (этого достаточно).
cosα=(Xps*Xpt1+Yps*Ypt)/[√(Xps²+Yps²)*√(Xpt²+Ypt²)].
Или cosα=((-4)*(-3)+3*(-4))/(5*5)=0/25=0.
Следовательно, этот угол прямой. А так как "если в параллелограмме все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол, то это квадрат", делаем вывод:
четырехугольник PSQT - квадрат, что и требовалось доказать.