Доказать, что геометрическое место центров кругов, касающихся внешним образом данной окружности и проходящих через одну и ту же точку, есть гипербола.

Трапецию обозначим АВСД, АД//ВС. Из вершины С опустим высоту СМ, а из вершины В опустим высоту ВК. Тогда КМ=ВС=5,  АК=МД=(13-5)/2=4,  а АМ=АД-МД=13-4=9. По условию АС перпендикулярно СД, значит треугольник АСД прямоугольный и угол АСД=90.Из прямого угла опущена высота СМ. По свойству высоты, опущенной из прямого угла, её квадрат равен произведению отрезков гипотенузы, на которые эту гипотенузу делит основание высоты.То есть  СМ^2=AM*MD,  CM^2=9*4=36, CM=6. Из треугольника СМД по теореме Пифагора найдем СД.  СД^2=CM^2+MД^2=36+16=52, CД=√52.

3.  6  2/3 см.  10 см².

4.  337,5 см².

Объяснение:

a=8;  b=5;  c=7;

a/a1=b/b1=c/c1 = 3.

a1=a/3 = 8/3;

b1=b/3=5/3;

c1=c/3=7/3;

Р= а+b+c=8/3 + 5/3 + 7/3 =( 8+5+7)/3 = 20/3 = 6 2/3 см.

Найдем площадь заданного треугольника ао формуле Герона

S = √р(р-а)(р-b)(p-c);

p=(a+b+c)/2=(8+5+7)/2=10;

S=√10(10-8)(10-5)(10-7)=√10*2*5*3=√900=30 см²

Площадь подобного треугольника равна  S/S1=3;

S =S1/3 = 30/3=10 см².

***

4.  Проведем высоту СЕ⊥ AD.  Острые углы треугольника CDE = 45°.

Значит ED=CE=AB=15 см.

AD = AE+AD;  AE=BC=15 см;  AD=15+15=30 см.

S= h(a+b)/2 = 15(15+30)/2=15*45/2=337,5  см².