Решите Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен разности средней линии и половины большей боковой стороны.

△BAC - равнобедренный, ∠ABC=∠ACB =(180°-80°)/2=50°

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла против основания является медианой и высотой, то есть серединным перпендикуляром к основанию.
AN - биссектриса ∠BAC
△BNС - равнобедренный (N лежит на серединном перпендикуляре к BC)
BN=CN, ∠NBC=∠NCB=30°
∠NCM= ∠NCB-∠MCB =30°-10° =20°
∠NBA= ∠ABC-∠MBC =50°-30° =20°

∠BNC= 180° -2∠NBC =180°-30°*2 =120°
∠ANB= 180° -∠BAC/2 -∠NBA =180°-40°-20° =120°

△ANB=△MNC, MC=AB=AC, △ACM - равнобедренный

∠ACN=50°-20°-10°=20°, CN - биссектриса ∠ACM
△ANM - равнобедренный (N лежит на серединном перпендикуляре к AM)
∠AMN= (180°-120°)/2 =30°
∠NMC= 180°-120°-20° =40°
∠AMC= ∠AMN+∠NMC =30°+40° =70°

X^2 -5x + y^2 - 35y + 1 = 0;
[ x^2 - 2*(5/2)x + (5/2)^2 ] - (5/2)^2 +
+ [ y^2 - 2*(35/2)y + (35/2)^2 ] - (35/2)^2 + 1 = 0;
(x - (5/2))^2 - (25/4) + ( y - (35/2))^2 - (1225/4) + 1 = 0;
(x - 2,5)^2 + (y - 17,5)^2 = ((25+1225)/4) -1 = (1250/4) -1 = 311,5
(x - 2,5)^2 + (y - 17,5)^2 = 311,5;
формула окружности через декартовы координаты:
(x - x0)^2 + (y- y0)^2 = R^2.
где (x0; y0) - координаты центра окружности, а R это радиус окружности.
Сравнивая полученное с последней формулой находим координаты центра окружности (2,5; 17,5), и радиус окружности равен (√311,5).