Вычисли углы АСВ, если градусная мера дуги АСВ равна 207 градусов

Вместо того, чтобы проводить отрезок CM (см. чертеж), я построил окружность на AC, как на диаметре. Середина AC - точка N - это центр этой окружности. Эта окружность проходит через все точки, из которых AC видна под прямым уголом, в частности - через точки D и F (основание высоты, в решении не нужна :) ).

Отрезок DE из условия является касательной к это окружности в точке D, так как ND II CB, как средняя линия треугольника ABC, то есть DE перпендикулярно радиусу ND.

В том числе эта окружность пересекает AE в точке K (из неё AC тоже видна под прямым углом, то есть ∠CKA = 90°). Я провожу отрезки CK и KM (M - середина DE), не предполагая, что они лежат на одной прямой. Для того, чтобы это "случилось", необходимо, чтобы ∠EKM = 90°. Вот это я и буду доказывать.

Треугольники AED и DKE подобны по 2 углам (один угол общий, а ∠KAD = ∠KDE, поскольку один угол вписаный, а другой лежит между касательной и секущей, и оба измеряются половиной дуги DK.

ND делит отрезок AE пополам (как средняя линия тр-ка ABC, ND делит пополам любую чевиану из вершины A), то есть Q - середина AE. Точки Q и M являются соответственными точками двух подобных треугольников, поэтому ∠QDE = ∠MKE = 90° чтд.

Если слова "являются соответственными точками" не понятны, то можно и так сказать - треугольники QDE и MKE подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу: QE и ME являются половинами сторон подобных треугольников AED и DKE, поэтому QE/ME = AE/ED = ED/EK;

Дано: угол С равен 60°, AB=3, BC=8, CD=5.

Найти:

а) Длину BD. Находим по теореме косинусов.

BD = √(5² + 8² - 2*5*8*cos 60°) = √(25 + 64 - 2*5*8*(1/2) =

     = √49 = 7.

б) Длину радиуса окружности.

R = (abc)/(4S). Площадь треугольника BCD определяем по Герону:

a = 5, b = 8, c = 7.

p = (5+8+7)/2 = 20/2 = 10.

S = √(10*5*2*3) = 10√3 ≈ 17, 320508.

R = (5*8*7)/(4*10√3) = 7/√3 = 7√3/3.

в) Площадь четырёхугольника ABCD. ​

Находим площадь треугольника ABD.

По теореме синусов находим AD = 5. p = (3 + 7 + 5)/2 = 7,5.

S(ABD) = √(7.5*4.5*0.5*2.5) = √42,1875 ≈ 6,495191.

S(ABCD) = 10√3 + √42,1875 ≈ 23,8157 кв.ед.