координатный метод.
(*** некоторые результаты, вроде того, что угол cad= 30°; - я привожу без пояснений и "доказательств", предполагается, что вам известны углы между диагоналями и их размеры в правильном шестиугольнике).
начало координат в точке а, ось x вдоль ad, ось y в плоскости основания перпендикулярно ad, ось z - вдоль аа1. еще я обозначу r = 2 (по смыслу это радиус описанной вокруг шестиугольника окружности). кроме того, пусть к - проекция точки n на ad.
плоскость na1d пересекает ось х в точке (4, 0, 0) и ось z в точке (0, 0, 4).
кроме этого, она проходит через точку n.
координаты точки n (nx, ny, 0); ny = nk равно половине высоты трапеции abcd,
то есть ny = (r*√3/2)/2 = √3/2; отсюда nx = ак = 3/2; (потому что угол cad равен 30°; )
чтобы построить уравнение плоскости na1d, лучше всего найти координаты точки q (0, q, 0), в которой прямая dn пересекает ось y. это проще, чем высчитывать определитель, уравнение плоскости через координаты точек a1, d и n.
треугольники qad и nkd подобны, поэтому
aq/ad = nk/kd; q/4 = (√3/2)/(4 - 3/2); q = 4√3/5;
то есть координаты точки q (0, 4√3/5, 0);
уравнение плоскости a1qd ( она же - плоскость na1d) теперь записывается автоматически
x/4 + y/(4√3/5) + z/4 = 1;
(если не понятно, как это получается - легко проверить, что точки (4,0,0) (0,4√3/5,0) и (0,0,4) удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость).
это уравненние можно записать в виде скалярного произведения rp=1;
r = (x,y,z); это радиус-вектор точки плоскости (то есть его абсолютная величина равна расстоянию от а до точки плоскости).
p = (1/4, 5/4√3, 1/4);
теперь задается вопрос "при каком r его длина минимальна? ".
в такой постановке сразу ясно, что r коллинеарен (параллелен, пропорционален) p, поскольку при любом другом положении r его длина больше - так как косинус угла между r и p будет меньше 1).
в этом случае rp=1; (абсолютные величины! ) и r = 1/p;
то есть для получения ответа осталось вычислить p = ipi;
p = √((1/4)^2 + (1/4)^2 + (5/4√3)^2) = √155/20; а искомое расстояние равно 4√155/31.
проверяйте, может я в числах где ошибся.
трапеция авсд, угола=уголв=90, ав/сд=4/5, ад-вс=9, вд=20
проводим высоту сн,=ав, авсн прямоугольник, вс=ан, нд = ад-ан =9,
треугольник нсд, нд= корень (сд в квадрате - сн в квадрате) = корень(25-16)=3
нд = 3 части = 9 см, 1 часть = 9/3 =3, ав = 4 х 3 =12, сд= 5 х 3 =15
треугольник авд прямоугольный ан=а, нд=9, ад=а+9
вд в квадрате = ав в квадрате+ад в квадрате
400 = 144 + а в квадрате +18а + 81
а в квадрате + 18а - 175 = 0
а = (-18+- корень(324 + 4 х 175))/2
а = (-18+-32)/2
а=7 = ан=вс, ад=7+9=16
средняя линия = (вс+ад)/2 =(7+16)/2=11,5
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна , а его измерения относятся как 1: 1: 2. найдите: а) измерения параллелепипеда. б) синус угла между диагональю параллелепипеда иплоскостью его основания.
пусть сторона квадрата равна x, тогда
x^2+x^2=a^2
2x^2=a^2
x^2=a^2/2
x=a/sqrt(2)
тогда
a) измерения параллелепипеда 1: 1: 2 или a/sqrt(2), a/sqrt(2), 2a/sqrt(2)
б) диагональ параллелепипеда равна
l^2=a^2+(2a/sqrt(2))^2=a^2+4a^2/2=3a^2
l=a*sqrt(3)
синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равно
sin(a)=2a/sqrt(2) : a*sqrt(3) = 2/sqrt(6)